答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是 复数对应的向量的模.( √ )
12345
解析答案
4.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝___3_－__4_i___.
解析 ∵a，b∈R，a＋i＝2－bi， ∴a＝2，b＝－1， ∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
12345
解析答案
5.(教材改编)已知(1＋2i) z ＝4＋3i，则 z＝___2_＋__i __.
答案
3.复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(a±c)+(b±d)i (ac-bd)+(bc+ad)i acc2＋＋dbd2 +cb2c＋-add2i(c+di≠0)
答案
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意 义，即 O→Z ＝ O→Z1＋O→Z2 ，Z→1Z2＝ O→Z2－O→Z1 .
解析答案
1.对本例(1)中的复数 z，若|z|＝ 10，求 a 的值. 解 若|z|＝ 10，则(a－3)2＋1＝10， ∴|a－3|＝3，∴a＝0或a＝6.
引申探究
解析答案
2.在本例(2)中，若zz12为实数，则 a＝___－__4___. 解析 若zz12为实数，则4＋5 a＝0.∴a＝－4.
满足条件(a，b为实数)
b＝0
a＋bi为实数b≠⇔0
复数的分 类
a＋bi为虚a＝数0⇔ 且b≠0
答案
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R). (5)模：向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |a＋bi|或 |z|，即|z|＝|a ＋bi|＝ a2＋b2 (a，b∈R). 2.复数的几何意义 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b) 及平面向量O→Z＝(a，b)(a，b∈R) 是一一对应法则.
解析答案
(2)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若zz12为纯虚数，则复数zz12的 虚部为____1____.
解析
由zz12＝21＋ －a2ii＝2＋a
i1＋2i 2－2a 4＋a
5
＝ 5 ＋5i
是纯虚数，得
a＝1
，
此时zz12＝i，其虚部为 1.
解析答案
(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是 “z1＝z2”的_充__分__不__必__要___条件. 解析 由mm22＋＋mm＋－14＝＝3－，2， 解得 m＝－2 或 m＝1， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件.
第十二章 推理与证明、算法、复数
§12.4 复 数
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做 实部 ，b叫做
虚部.(i为虚数单位)
(2)分类：
答案
2
考点自测
1.(2015·安徽改编)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝___3_＋__i____. 解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i.
12345
解析答案
2.(2015·课 标 全 国 Ⅰ 改 编 ) 已 知 复 数 z 满 足 (z － 1)i ＝ 1 ＋ i ， 则 z ＝ ____2_－__i ___.
Hale Waihona Puke 解析∵z4＋3i 4＋3i1－2i 10－5i ＝1＋2i＝1＋2i1－2i＝ 5 ＝2－i，
∴z＝2＋i.
1 2 3 4 5 解析答案
返回
题型分类 深度剖析
题型一 复数的概念
例 1 (1)设 i 是虚数单位.若复数 z＝a－31－0 i(a∈R)是纯虚数，则 a 的值 为____3____. 解析 z＝a－31－0i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i， 由 a∈R，且 z＝a－31－0i为纯虚数知 a＝3.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为__－__1____. 解析 由复数 z 为纯虚数，得xx2－－11≠＝00，， 解得 x＝－1.
解析答案
(2)(2014·浙江改编)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a ＋bi)2＝2i”的_充__分__不__必__要__条件. 解析 当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i； 当(a＋bi)2＝2i 时，得aa2b－＝b12，＝0， 解得a＝b＝1或a＝b＝－1， 所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件.
(2)(2015·北京改编)复数i(2－i)＝__1_＋__2_i __. 解析 i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
解析答案
命题点2 复数的除法运算
1－i2 例 3 (1)(2015·湖南改编)已知 z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝ __－__1_－__i_.
解析 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i， 则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
12345
解析答案
3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB 的中点，则点C对应的复数是__2_＋__4_i _. 解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)， ∴线段AB的中点C(2,4)， 则点C对应的复数为z＝2＋4i.
解析答案
题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算
例2 (1)(2015·湖北改编)i为虚数单位，i607的共轭复数为____i ____. 解析 方法一 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i. 方法二 i607＝i6i08＝i4×i152＝1i ＝－i，其共轭复数为 i.
解析答案