高二年级理科数学选修2-1期末试卷斗鸡中学 郑改娟（测试时间：120分钟 满分150分）注意事项：答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题纸． 一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是 （ ） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使(C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使2. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ） （A ）（a , 0） （B ）(－a , 0) （C ）（0, a ） （D ）（0, －a ）3. 设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ）（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。

其中正确的命题是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③6. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若a AB =，b AD =，c AA =1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ） （A ） c b a ++-2121 （B ）c b a ++2121 （C ）c b a +--2121 （D ）c b a +-21217. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是 （ ）（A ）1203622=+y x （x ≠0） （B ）1362022=+y x （x ≠0） （C ）120622=+yx（x ≠0） （D ）162022=+yx（x ≠0）C1A8. 过抛物线 y 2= 4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，如果21x x +=6，那么AB ＝ （ ） （A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）109. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是 （ ）（A ）（315,315-）（B ）（315,0） （C ）（0,315-） （D ）（1,315--）10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为 （ ） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41（B ）⎪⎭⎫⎝⎛1,41 （C ）()22,2-- （D ）()22,2- 11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，如果AB=BC=1，AA 1=2，那么A 到直线A 1C 的距离为 （ ）（A ）3（B ）2（C ）3（D ）312.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y ab +=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为 （ ）（A ）12（B ） 2（C ）13（D ）3二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）13.已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则x y =___________。

14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

当水面升高1米后，水面宽度是________米。

15. 如果椭圆193622=+yx的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。

16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是“C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列”的充要条件.③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④“am 2<bm 2 ”是“a <b ”的充分必要条件.以上说法中，判断错误的有___________.三、解答题（共6小题，满分74分）17.（本题满分12分）设p ：方程210x mx ++=有两个不等的负根，q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根， 若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．18.（本题满分12分）已知椭圆C 的两焦点分别为()()1200F F 、，长轴长为6，⑴求椭圆C 的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度。

.19.（本题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱O A O B O C ，，两两垂直，且1O A =，2O B O C ==，E 是O C 的中点。

（1）求异面直线BE 与A C 所成角的余弦值； （2）求直线BE 和平面A B C 的所成角的正弦值。

20.（本题满分12分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点。

（1）求证：命题“如果直线l 过点T （3，0），那么OB OA ⋅＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

21.（本题满分14分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， PA=AD=2，BD=22. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小； （3）求点C 到平面PBD 的距离.22. （本题满分12分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by ax 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点)23,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.高二年级理科数学选修2-1期末试卷参考答案一、选择题：二、填空题： 13、 2 14、24 15、 082=-+y x 16、③④ 三、解答题：17、解：若方程210x mx ++=有两个不等的负根，则212400m x x m ⎧∆=->⎨+=-<⎩， …………2分所以2m >，即:2p m >． ………………………………………………………3分 若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则216(2)160m ∆=--<， …………5分即13m <<， 所以:13p m <<． …………………………………………………6分 因为p q ∨为真，则,p q 至少一个为真，又p q ∧为假，则,p q 至少一个为假．所以,p q 一真一假，即“p 真q 假”或“p 假q 真”． ……………………………8分所以213m m m >⎧⎨≤≥⎩或或213m m ≤⎧⎨<<⎩…………………………………………………10分所以3m ≥或12m <≤．故实数m 的取值范围为(1,2][3,)+∞ ． …………………………………………12分 18、解：⑴由()()1200F F 、，长轴长为6得：3c a ==所以1b =∴椭圆方程为22191xy+=…………………………………………………5分⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191xy+=①,∵直线AB 的方程为2y x =+② ……………………………7分 把②代入①得化简并整理得21036270x x ++= ∴12121827,510x x x x +=-=……………………………10分又5AB ==……………………………12分19、解：（1）以O 为原点,O B 、O C 、O A 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……………………………3分(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-=-COS<,EB AC >2,5==-……………………………5分所以异面直线BE 与A C 所成角的余弦为52 ……………………………6分（2）设平面A B C 的法向量为1(,,),n x y z =则11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-= 知取1(1,1,2)n =， ………8分则303065012,cos 1=+->=<n EB ，…………………10分故BE 和平面A B C 的所成角的正弦值为3030 …………12分20、证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l 交抛物线2y =2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于A(3,6)、B(3,－6)，∴3=⋅OB OA 。

……………………………3分 当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y =k (x －3),其中k≠0. ⎩⎨⎧-==)3(22x k y x y 得ky 2－2y －6k =0,则y 1y 2=－6. 又∵x 1=21y 12, x 2=21y 22, ∴OB OA ⋅=x 1x 2+y 1y 2=21221)(41y y y y +=3. ……………………………7分综上所述, 命题“......”是真命题. ……………………………8分解法二：设直线l 的方程为my =x －3与2y =2x 联立得到y 2-2my-6=0 OB OA ⋅=x 1x 2+y 1y 2=(my 1+3) (my 2+3)+ y 1y 2=(m 2+1) y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=(m 2+1)× (-6)+3m ×2m+9＝3 ………8分（2）逆命题是：“设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果3=⋅OB OA ,那么该直线过点T(3,0).”…………………………………………………10分该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(21,1),此时3=⋅OB OA =3,直线AB 的方程为y =32 (x +1),而T(3,0)不在直线AB 上. ………………………………12分点评：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)满足3=⋅OB OA ,可得y 1y 2=－6。