D' N B' M A D B C C'
3.用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题 设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间 的夹角与θ相等或互补
（1）线线垂直、线线成角与向量的关系
设直线l 和l 的方向向量分别为 和v ， v
1 2 1 2
则l l v v , cos | cos v , v | .
1
是A B 、A A的中点.
1 1 1
z
1
B1 M
A1
(1) 求 BN的长； ( 2) 求 cos BA CB 的值；
1 1
N
C A x B y
( 3) 求证A B C M .
1 1
解：以C为原点， 、 、 所在直线为x、y、z轴建立 CA CB CC
1
如图空间直角坐标系 xyz. O
1 1
1 1 A B C M 0 0， 2 2 A B C M.
1 1
1
1
对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存 在唯一的实数t，满足等式OP OA t a （ ） 2
P B
a A l
O
如果在l上取 AB a，则（）可变形为 2 OP 1 t） t OB 3 （ OA （） — 1 （）（ ）（ ）都叫空间直线的向量 2 3 参数方程.
1 1 t 时， （ OB — 线段AB中点的向量表达式； OP OA ） 2 2
y
2.用向量方法证明空间中有关平行的问题 （1）线线平行与向量的关系
v 设直线l 和l 的方向向量分别为 和v ， v 则l // l 或l 与l 重合 v // v ， v v ( v 0) （2）线面平行与向量的关系
1
l1
l2
1
2
1
2
v
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
已知两个不共线向量 ，与平面共面， v v
(1) 依题意得B(0,1,0), N (1,0,1),
BN (1 0) (0 1) (1 0) 3 .
2 2 2
( 2) 依题意有A (1,0,2), B(0,1,0), C (0,0,0), B (0,1,2),
1 1Biblioteka BA (1,1,2), CB (0,1,2), BA CB 3,
1 2 1 2 1 2
1 [例3] 在棱长为 的正方体ABCD A1 B1C1 D1 中, M、 分别为A1 B1和BB1的中点, 那么直线 N AM与CN所成的角为( )
D1 C1 M B1 D A N C B
3 10 A. arccos B. arccos 2 10 3 2 C. arccos D. arccos 5 5
1.用向量表示直线或点在直线上的位置 给定一个定点A和一个向量a，再给一个实数t，
l
以A为起点作向量AP t a （） 1
a
P
当任意t R，则P轨迹为通过点A且 .A 平行于向量a的直线l；反之，在直 线l上任取一点P，必存在一个实数t， 使(1)成立.
AP t a — 称作直线l以t为参数的参数方程； a为该直线的方向向量 .
例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)， z Q 以AB 的方向为正向，在直线AB上建立 一条数轴，P，Q 为轴上两点，且分别 B 满足条件（1）AP：PB=1：2； （2）AQ：QB=－2， P 求点P 和点Q 的坐标。 O 解：由已知得PB 2 AP A l x OB OP 2(OP OA) 2 1 OP OA OB ) 3 3 2 1 设P(x，y，z),则 ( x , y , z ) ( 2,4,0) (1,3,3) 3 3 5 11 x , y ,z 1 3 3 5 11 P ( , ,1) 同法可求得Q(0,2,6) 3 3
3.2 空间向量在立体几何中 的应用
3.2.1 直线的方向向量 与直线的向量方程
思考1：如何确定一个点在空间的位置？ 答：空间中任意一个P的位置可以用向量OP 来表示。向量OP称为点P的位置向量。 思考2：在空间中给一个定点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？ 答：空间中任意一条直线l的位置可以由l上 一个定点A以及一个定方向（向量）确定。 思考3：给一个定点和两个定方向（向量），能确 定一个平面在空间的位置吗？ 答：空间中平面的位置可以由平面内两条相交直线 来确定。
1 2
一直线l的一个方向向量为 ，则 v
l // 或l !实数对x , y，使v x v y v . （3）面面平行与向量的关系 已知两个不共线向量 ，与平面共面， v v // 或与重合 v // 且v // .
1 2 1 2 1 2
例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M，N 分别 是面对角线A’B 与面对角线A’C’的中点，求证：MN//侧 1 面AD’；MN//AD’；并且MN= 2 AD. A'
A1
解： AM AA A M , CN CB BN ,
1 1
D1 A1 M
C1
AM CN ( AA A M ) (CB BN )
1 1
B1 D N C B
1 AA BN . 2
1
而 AM ( AA A M ) ( AA A M )
1 1 1 1
A
1 5 AA A M 1 . 4 2 5 同理 CN , 2
2 2 1 1
1 AM CN 2 2. 则cos AM CN 5 5 4
例4.如图, 直三棱柱ABC A B C , 底面ABC中,
1 1 1
CA CB 1, BCA 90, 棱AA 2, M、N分别 C
1 1 1 1
BA 6 , CB 5 .. BA CB 1 cos BA CB 30 . BA CB 10
1 1
1 1 1 1 1 1
z A1
C1 B1 M
N
C A x B y
1 1 ( 3) 依题意得C (0,0,2), M ( , ,2), 2 2
1
1 1 A B ( 1,1 ,2), C M ( , ,0) 2 2