∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性
∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB nAC
∴ OP OA m(OB OA) n(OC OA) ∴ OP (1 m n)OA mOB nOC
学习目标 1.会用向量表示点、直线、平面 2.掌握用向量法证明线与线、
线与面、面与面的平行的方法
3. 能根据具体问题合理选定基底、建系
基础知识
空间向量在立体几何中的应用
平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
基础知识
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC 可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC ,
A
a 称为直线的方向向量
基础知识
2.直线的向量方程:
定点A，向量 a ，tR,P, a //
则： APta
a
为直线 的参数方
P
程，其中t为参数
A
a 称为直线的方向向量
O
O P O A ta ,t R
基础知识
2.直线的向量方程:
① A P ta ,t R
P
Ba
A
② O P O A ta ,t R
2
A' D'
N B'
M
C'
A D
B C
基础知识
5.用向量方法证明平面与平面平行:
两个不共线向量 v1 , v 2 与平面 共面 / /或 与 重 合 v 1 / /且 v 2 / /
v1
v2
基础训练
解题反思：（1）用向量法证两直线垂直的步骤是： a)以不共面的三个向量为基底， b)用基底表示欲证的两直线的方向向量， c)验证这两个方向向量的数量积为零。 （2）空间四边形中有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
G
E
分析:
C
F
证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
O
A
基础训练
4:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 O P x O A y O B ，求 x y的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平，且分别
满足条件（1）AP：PB=1：2；
B
（2）AQ：QB=－2， 求点P 和点Q 的坐标。
P
O
y
解：由P已 B 2A 知P得
A
l
O O B 2 P (O O P )A x
OP2OA 1OB )
33 设P(x，y，z),则
(x,y,z)2(2,4,0)1(1,3,3)
③
O P O A tA B ,t R O
O P ( 1 t ) O A t O B , t R
O P x O A y O B , ( x y 1 )
①、②、③都叫做空间直线的向量参数方程
例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)， Q 以AB 的方向为正向，在直线AB上建立 z
则 B D C D C B
(1 )C C 1B D C C 1C D C C 1C B
a c o s a c o s 0 ∴C1C⊥BD；
基础训练
3: 已 知 OE 是 以 OA、OB 、OC 为 棱 的 平 行 六 面 体
OADB─CFEG 的对角线,点 M 是△ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上.
1
v2
1 2
v1
v2
2
基础知识
4.用向量方法证明直线与平面平行:
直线 的方向向量为 v
思考：如何用向
两个不共线向量 v1 , v 2 与平面量证共线面面平行？
结论：/ / 或 x 、 y R , 使 v x v 1 y v 2
图示：
v
v1
v2
例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M， N 分别是面对角线A’B 与面对角线A’C’的中点， 求证：MN//侧面AD’；MN/1 /AADD.’；并且MN=
1.用向量表示空间中的点:
在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那 么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量.
P
O
基础知识
2.用向量表示空间中的直线及直线的向量方程:
定点A，向量 a ，tR,P, a //
则： APta
a
为直线 的参数方
P
程，其中t为参数
∵OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 O EkO A , O FkO B , O G kO C, O H kO D, 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
小结：
1.直线的向量方程: 2.用向量方法证明直线与直线平行:
3.用向量方法证明直线与平面平行: 4.用向量方法证明平面与平面平行: 5.用向量运算证明两条直线垂直
或求两条直线所成的角: 6.A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M
共面的充要条件
P99例3（垂直） P100例4（求角 ）
基础训练
2.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1底面
是菱形，且C1CBC1CDBCD600
求证：(1）CC1
BD;(2)当CD的值为多少时， CC1
能使A1C平面C1BD,并加以证明。
基础训练
CD
解：设CC1为1个单位，C C 1
a
，则CD=CB=a，设∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=
3x5,y3 11,z1
33
P(5,11,1) 同法可求Q(得 0,2,6)
33
基础知识
3.用向量方法证明直线与直线平行:
直线 1 的方向向量为 v 1 思考：如何用向
直线 2 的方向向量为 v 2 量证两直线平行？
结论： 1 / /2 或 1 与 2 重 合 v 1 / / v 2
图示：
v1