§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.1 线性方程组的基本概念 4.1.2 线性方程组有解的条件
§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.1 线性方程组的基本概念
设含有m个变量n个未知数的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
a x a x a x b (i 1, 2, , m)
i1 1
i2 2
in n
i
变成恒等式
a k a k
i1 1
i2 2
a k b (i 1, 2,
in n
i
, m)
的一个有序数组 (k , k , , k )叫做方程组(4.1.1)的一个解.
12
n
有解的线性方程组叫做相容方程组；无解的线性方程组叫做矛盾方程组.
对于n元齐次线性方程组Ax=0，显然有R(A,0)=R(A), 即齐次线性方程组永远有解.
推论4.1 n元齐次线性方程组 Ax 0有非零解的充要条件 R( A) n.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
综合上述讨论得到 求解线性方程组的方法：对于齐次线性方程组，只要将系数矩阵用初等行
变换化成简化行阶梯形矩阵，便可写出其通解；对于非齐次线性方程组，先将 增广矩阵用初等行变换化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解。若有解，则 继续用初等行变换把增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，便能写出其通解。
例4.1
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
解线性方程
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
4x1 6x2 2x3 2x4 4,
3x 1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
(4.1.3)
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
①
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
解
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
4x1 6x2 2x3 2x4 4,
a mn
xn
b1
b2
bm
则方程组可以表示成 Ax
(4.1.2)
称矩阵A为方程组的系数矩阵，β为方程组的常数项矩阵，x为n元未
知量矩阵.方程(4.1.2)称为线性方程组的矩阵形式，也称之为向量方程.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
我们把方程组的系数矩阵A和常数项矩阵β放在一起构成一个m行n+1列矩阵
§ 4.1 线性方程组有解的条件
例4.2
解下列方程组
5
x 1
x 2
2x 3
x 4
7,
2
x 1
x 2
4x 3
2x 4
1,
x 1
3x 2
6x 3
5x 4
0.
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
解
(A
)
2 1
1 3
4 6
2 5
1 0
2 5
1 1
4 2
② ③
①③② 2
2x 1
x 2
x 3
+x4
2,
2x1 3x2 x3 x4 2,
② ③
3x 1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
④
3x1
6x 2
9x 3
7 x4
9.
④
§ 4.1 线性方程组有解的条件
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
③②--22①①
④-3①
3x 2
+3x 3
x4
5x2 5x3 3x4
(4.1.1a)
即线性方程组Ax=有解的充分必要条件是方程组(4.1.1a)有解.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
定理4.1 n元线性方程组Ax 有解的充要条件是 R( A) R( A ) r .
特别，当 R( A) R( A ) r n 时，由线性方程组(4.1.1a)得到线性方程组
方程组的所有解的集合叫做方程组的解集(解集的元素都是有序数组). 矛盾方程组的解集是空集.
解集相同的两个方程组叫做同解方程组.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
4.1.2 线性方程组有解的条件
在初等数学中，已学过用消元法解简单的线性方程组，这一方法也适用于求解一
般的线性方程组(4.1.1)，并可用方程组增广矩阵的初等行变换表示其求解过程.
本章首先以矩阵为工具讨论线性方程组有解的条件及求解方法，其次引入n维 向量与向量空间的概念，在向量组、矩阵与线性方程组之间建立联系，然后以向 量组、矩阵为工具，讨论线性方程组有无穷多个解时，线性方程组的解的结构.
第4章 线性方程组与n维向量空间
§4.1 线性方程组有解的条件 §4.2 n维向量空间的概念 §4.3 向量组的线性相关性 §4.4 向量组的秩 §4.5 线性方程组解的结构
第4章 线性方程组与n维向量空间
线性方程组在数学许多分支以及其它领域中都有广泛的应用，求解线性方 程组是代数学讨论的核心问题之一. 在第一章中介绍过利用克拉默法则求解线性方 程组的方法, 但它要求线性方程组中方程个数与未知数个数相等，且方程组的系数 行列式不等于零. 然而，实际问题中所遇到的线性方程组在很多情形并不满足克拉 默法则的条件，因此需要寻找求解线性方程组的其它方法.
6, 6,
3x 2
3x 3
4x4
3.
①
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
② ③
③-5②
④ +3②
④
3x +3x
2
3
x4
6,
4 3 x4 4,
3x4 9.
② ③ ④
x 1
x 2
2x 3
x4
4,
①
③(- 3)
④14 3
3x +3x
2
3
x4
6,
x4 3,
② ③
x4 3. ④
x 1
x 2
4
r r
1
2
r 1
32
2 2
1 3
1 1
1 1
2
2
3 6 9 7 9
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
0 r +r (-2) 2 1 r +r (-2) 0 r3 +r1 (-3)
3 5
3 5
1
6
3 6
41
0 3 3 4 3
1 1 2 1 4
r +r (- 5)
a11 a12
(A
)
a21
a22
am1 am2
a1n
b1
a2 n
b2
amn bm
则称矩阵(A β)为方程组的增广矩阵.
一个含m个方程n个未知量的线性方程组与其m(n+1)阶增广矩阵之间存在 一一对应关系，即可用方程组的增广矩阵完全代表该线性方程组.
§ 4.1 线性方程组有解的条件
使方程组(4.1.1)的每个方程
由例4.1的求解过程可见，用消元法解线性方程组的过程中，始终把方程组看作 一个整体，用到三种变换：交换第i个方程与第j个方程的次序(方程i与方程j相互 交换)；用不等于零的数k乘以第i个方程(以i×k替换方程i)；第i个方程加上第j个 方程的k倍(以i+kj替换方程i).由于这三种变换都是可逆的，即
ar' n dr
0
dr
1
0 0
0 0
§ 4.1 线性方程组有解的条件
于是线性方程组Ax=的同解方程组为
x1
a x ' 1,r 1 r 1
x2
a x ' 2,r 1 r 1
xr
a x ' r ,r 1 r 1
a1'n xn d1，
a2' n xn
d
，
2
ar'n xn
d
，
r
0 dr1.
1
r (-
2
1)
3
0
0
1 1 0
2 0 1 0 01
7
3
3
1
r +r (-1) 12
0
0
0 1 0
0
0
0
0
0
0
0
x 1
x +4, 3
由最后一个矩阵得到方程组的解
x 2
x +3, 3
x4 3，
1 0 4
1 0
3
0 1 3
0
0
0
其中x3可任意取值.
(4.1.4)
上述表明，用消元法解方程组的过程就是对方程组的增广矩阵作有限
令c为任意常数，方程组的解可记作
x1 c 4
x
x2
c
3
x3
c
x4 3
x1 1 4
x
x2
c
1
3
x3
1 0
x4 0 3
这表明方程组(4.1.3)有无穷多个解.
x 1
x +4, 3
x 2
x +3, 3
x4 3，
§ 4.1 线性方程组有解的条件
amn xn bm.
(4.1.1)
其中 x , x ,
1
2
,
x n
代表n个未知量；m是方程的个数，aij
(i 1, 2,