附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= ；（c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为： '32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形 Li —Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边上 400 20 8000 ￥160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 ?右150 20 3000 75 225000 …140001730000Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑Ai>(b)解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置矩形 Li Bi Ai Yci (AiYciYc Xci AiXci Xc 下1601016005…800080128000左 90 10 900 55 。
495005 45002500，575002313250053Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai<解：习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置型钢号 Ai(cm2) Yci(cm) AiYci(cm3) Yc(cm) Xci(cm) AiXci(cm3) ）Xc(cm) 槽钢2010 等边角钢80*10…]Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
…dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322cos 1]4[sin ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为： ，xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
解：圆的方程为：222r y x =+如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：dy y r dA 222-=切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：dy y r y I r r x 22sin sin 22-=⎰-αα~ααsin sin 42222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=)4sin 41(24αα-=r )4sin 4(84αα-=r 2221100)20100(=-+x360021=x )(601mm x =346020100tan =-=α )(927.013.5334arctan 0rad ===α)(10963.3)52.212sin 927.04(81004704mm I x ⨯=-⨯=[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
—解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。
dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z az a Az ⎰⎰⎰⎰⎰+--+---+==2202222222222222][22202202220222dy y dz dy y dz a a z a z a ⎰⎰⎰⎰+-+-+⋅=[][]][322202203222203⎰⎰+--++⋅=a a z aa z dz y dz y])22()22()22()22([3222030223⎰⎰+-+--++⋅=-a a a z d a z a z d a z a a a z a z 22402244)22(324)22(32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+16163244a a 124a = 故正方形对其的对角线的惯性矩为：124a I z =。
)[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。
(a) 解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-⨯⨯=-=απ (b))(9044999915090121210150121433mm I x =⨯⨯-⨯⨯=[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩、所以再次应用平行轴定理，得[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩?再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x 的惯性矩。
解：由于三圆直径相等，并两两相切。
它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。
该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是上面一个圆的圆心到轴的距离是d 632。
利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下：&[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。
解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是。
利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩)(657600002)1012011510120121(104.34237mm I z =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯= （b ）等边角钢 的截面积是，其形心距外边缘的距离是 mm ，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：习题I-11（b ）图图形 b 'h Ixc a A Ix 中间矩形 10 600 0 0 ;6000 0 上矩形 25010 20833 305 2500 3 下矩形 —250 10 20833 3052500 3 左上L 形 1795100 ;1926 5 右上L 形1795100 1926 5 #左下L 形 1795100 1926 5 右下L 形,179510019265 A a I I xc x 2+=45[习题I-12] 试求习题I-3a 图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。
关于形心位置，可利用该题的结果。
解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。
惯性矩 计算如下："[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。
习题I-13(a)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc、aiIxc Ix(mm4)上矩形1000100100000650、22533下矩形300600180000300&12500 00全图2800000425?习题I-13(c)图形bi hi r，AiYci AiYci Yc Ixc(mm4)ai Ix(mm4)习题I-13( b)图形bi hi Ai Yci AiYci:Ycai Ixc Ix(mm4)上图(3)2515037502751031250？148 7031250中图(2)200150300001253750000【 2下图(1)10050500025125000》102 1041667全图387504906250"127矩形 2140 1150!2461000575 008333 159 8275 半圆|790 -980333 335 -7791399 全图 @148066733734(半圆：π3/4r y c =半圆：ππ9/88/44r r I xc-=习题I-13(d)图形bi hi Ai Yci AiYci~Ycai IxciIx(mm 4)从下往上220163520828160-374 7509331801425202357960\359 41160 016 674 10784 367 3957728\0 9 92201430807112189880&329 50307 7445940052893613[341 27034 5239099127341\38214[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42⨯的矩形孔，如图所示。
试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。
解：先求形心主轴的位置截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：（y 轴向下为正）：（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）（组合图形对形心轴x 的惯性矩）习题I-14b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a)AiYci、Yc(a)IxcaiIx(a4)矩形 4 2 1--8 圆 4`0 0<-8[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100 的半圆形孔，如图所示。
试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。
[解：习题I-15图形 bi hi r Ai Yci AiYci Yc！Ixci ai Ix 正方形 200 200 40000 100 4000000—32 1半圆50-3927 79"-309365685977 24 2860346全图36073(3690635 102 5π34100ryc-=ππ98844rrIxc-⋅=AaIIxcx2+=形心位置：X（0，102）。