电磁波与电磁场第三次实验报告
实验八 直线电荷与共面圆弧电荷之间的相互作用力分析
一、实验目的
1、掌握MATLAB 仿真的基本流程与步骤；
2、掌握静电场的基本分析方法与基本性质；
3、理解矢量积分法在静电场分析中的应用；
4、了解数值分析手段在电磁场分析中的应用。

二、实验原理
如图所示，一无限长直线电荷旁边有一共面的圆弧，直线电荷的线密度为λ（0λ>），圆弧均匀带电q （0q >），半径为a ，张角为α，弧心O 到直线的距离为d 。

分析圆弧所受的电场力。

分析与讨论： 基本分析过程：
圆弧长为2C a α=，电荷的线密度为'
/q c λ=，在圆弧上取一长为dl ad θ=弧元，
带电量为d d d 2q
q l λθα
'==，直线电荷在弧元处产生的电场强度方向沿着x 轴正向，大小为022π()
cos k E d x d a λ
λ
εθ
=
=
++
a
O x d λ
θ
d l 2α
d F
q
A
B C
电荷元所受的电场力为：d d d (cos )
k q F E q d a λθ
αθ==
+，
圆弧所受的电场力为：0
2d cos k q
F d a α
λθ
α
θ=
+⎰ （1）如果0d = ，则02d cos k q F a α
λθ
αθ
=⎰，根据积分公式可得21sin ln cos k q F a λααα+= 但/2a π≠，否则圆弧接触直线电荷。

（2）如果d a =，则200
2d 2d 1cos 2cos (/2)k q k q F a a αα
λθλθ
αθαθ==+⎰⎰积分得2t a n 2
k q F a λα
α=
但a π≠，否则圆弧接触直线电荷。

（3）如果d a =-，则积分得到F →-∞，这是圆弧与直线电荷接触的情况。

d a =-的
距离称为奇点。

以上仅为简单的分析，讨论了几种特殊情况，下面来分析一般情况：
2d cos k q
F d a α
λθ
α
θ=
+⎰ 设22d 2121arctan(tan )arctanh(tan )1cos 121211
k k S k k k k k θθθ
θ--=
==+++--⎰ 取/k a d =，可得圆弧所受的电场力：
2
2
41arctan(
tan )2k q d a F d a d a λα
α
-=
+-或
22
41arctanh(
tan )2
k q
a d F a d a d λα
α
-=
+- 当d a <-时，圆弧所受力方向向左，上面两式都要取负号。

下面开始讨论 ①当0d =时，可得：
421tan(/2)21sin arctanh(tan )ln[]ln 21tan(/2)cos k q k q k q F a a a λαλαλα
ααααα
++=
==- ②当d a →时，可得：
22
412(
tan )tan 22
k q d a k q F d a a d a λαλα
α
α-→
=+- ③当d a >>时，
1d a
d a
-≈+则： 4122k q k q
F d d
λαλα≈
=
可见：在很远的地方，不论什么样的圆弧电荷都可以当作点电荷。

④当cos d a α→-时，这是圆弧上下两端接触直线电荷的情况，可得：
411cos 4arctanh(tan )arctanh(1)sin 1cos 2sin k q
k q
F a a λααλα
αααα
+→
=→∞-
⑤cos a d a α-<<-当时，圆弧跨在直线电荷的两边（相互绝缘），圆弧所受直线电荷的作用力仍然由上面两式计算。

⑥当0d a →--时，圆弧B 点从左边接近直线，可得（要加负号）：
22
2241241π
arctan(
tan )22k q a k q F d a d a
λε
αλα
ε
α+=-
→-→-∞--
⑦当0d a →-+时，圆弧跨在直线电荷的两边，其B 点从右边接近直线，设
tan 2
a d x a d α
-=
+ 则x →∞。

由于arctanh 1x x →，可得： 4arctanh()2()tan(/2)tan(/2)
k q
x x k q
F a d a λλα
ααα=
→-
可知：在d a =-的两边，力的左右极限并不相等。

再讨论：
①当0α→时，圆弧退化为一点，可得：
22
41(
)2
k q d a F d a d a λα
α
-→
+-
这正是点电荷在直线电荷的电场中所受的电场力。

②当/2απ=时，可得：
2281arctan()πk q d a
F d a d a
λ-=
+- 这是半圆形电荷所受的电场力。

当d a →时，可得：4πk q
F a
λ→
③当απ=时，可得：2
2
2k q F d a
λ=
-，这是圆形电荷所受的电场力。

如果d a →±，圆形电荷的边缘就接近直线电荷，则F →∞； 如果d a <，圆形电荷就跨过直线电荷(相互绝缘)，则0F =。

三、实验内容
1、绘制对于不同的圆弧，电场力与距离之间的变化规律示意图。

（可参考下图）
2、结合所绘制的示意图，分析电场力与距离之间的变化规律。

1．
图像分析
当圆弧电荷张角为零时，蓝色曲线表示点电荷所受的力；当张角为60°时，圆弧电荷的受力情况与点电荷的受力情况相近。

可见：当圆弧张角比较小的时候，可当点电荷处理。

右上角曲线表示圆弧电荷(包括圆形电荷)在直线电荷右边的受力情况，当圆弧电荷的上下两端接近直线电荷时，电场力趋于无穷大。

随距离增加，圆弧所受的力减少。

当距离很大时，圆弧所受的力接近于点电荷所受的力。

在同一距离，张角较大的圆弧电荷所受的力大，因为圆弧电荷的一部分离直线电荷比较近。

圆弧电荷受力方向向右；圆形电荷跨在直线两边时，所受的力为零。

实验九 理想介质中均匀平面电磁波的传播
一、 实验仪器 1． 计算机一台
2． Matlab 软件一套 二、 实验目的
1． 掌握理想介质中的波动方程；
2． 理解理想介质中电场、磁场、坡印亭矢量之间的关系； 3． 理解平面电磁波的传播过程。

三、 实验原理
1．根据麦克斯韦方程组，可推导理想介质中均匀平面电磁波的波动方程：
220022200200
E
E t H H t εμεμ⎧∂∇-=⎪⎪∂⎨∂⎪∇-=⎪∂⎩
u v u v u u v u u v 2．假设其中电场为线极化方式，并且电磁波沿x 轴方向，则可得：
22000022()()E H H E
x x t t x t
μμεμ∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂∂∂ 同理可得22002
2H H
x t
εμ∂∂=∂∂，以上两式都是波动方程。

3．电场和磁场的传播速度，即电磁波的传播速度为：8001/
310m/s c εμ=≈⨯由此可
见：电磁波的传播速度等于光速，理论值与实验值十分吻合，为光的电磁波理论提供了
一个重要依据。

由波动方程：22002222
00
2
2E E
x t
H H
x t εμεμ⎧∂∂=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ 平面电磁波的电场强度和磁场强度的频率和相位相同，两个波动方程最简单的解为：
00
cos[()]cos[()]
x E E t c
x H H t c ωϕωϕ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
其中，0E 是电场强度振幅，0H 是磁场强度振幅，ω是电磁波的圆频率，ϕ是初相。

两式代入公式：
0E H
x t
μ∂∂=-∂∂ 可得00E cB =。

两边同乘以余弦函数，可得E cB =,平面电磁波的电场强度与磁感应强度(磁场强度)成正比。

四、 实验内容 1．
实验代码
2． 仿真截图
实验心得
这次试验是电磁场的第三次试验。

刚开始原理不太懂，通过在图书馆和网上的找来资料，以及和同组同学的讨论，使我对实验的原理有了深刻的了解。

由于有了上次试验的经历，我在做这个实验时，并没有像上次那样无从下手，但毕竟这次实验内容和上次大不相同，而且我并没有正式学过Matlab，不过最后我还是顺利完成了这次试验任务。

通过这次试验让我更实习了Matlab软件的使用，加深了对电磁场这门课程的学习，同时让我认识到了自己不会还需要学习的东西还有很多很多。

在今后的学习了，我会更加努力。