16
（二）平面简谐电磁波的波动公式
E＝ A cos ( z t)
v
B＝ A' cos ( z t)
v
其中， A ：电场振幅矢量 A '：磁场振幅矢量 ：角频率
等相面或波面 wavefront
(z v
t
)
称为位相
某一时刻位相为常 数的位置的轨迹
平面波的等相面是平面
位相是时间和空 间坐标的函数， 表示平面波在不 同时刻空间各点 的振动状态。
[解] 假设A点的初位相为0，因此插入透明薄片前B点的位相 为
1(A c B t)2(A c B t)
这里假设空气中光波的传播速度为c。插入透明薄片后，光波 在薄片内的传播速度为v，于是这时B点的位相为：
22(AcB hh vt)
所以，B点的位相变化：
25
2
1
2(ABhh
cv
AB) c
2(hh)2h(1 1)
空或电介质中光波场的E矢量的振幅远远大于B 矢量的振幅，因而对探测器起作用的主要是光 波场的E矢量。 通常我们讲光振动矢量实际上 就是指电场强度矢量E，其振动方向就是光波的 偏振方向。
【例题4】一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播，其频率为
41014Hz，电场振幅为14.14V/m，若该电磁波的振动面与xy
要求：
（1）．画图示意出该光波的传播方向和偏振方向（标出相应 的角度值）；
（2）．该光波的振幅； （3）．该光波的频率； （4）．该光波的相速度；
（5）．该光波的波长。
22
解 （1）由题设条件知
波数
kx 2106
ky 2 3106
所以
k 2 160 (1 )2 (3 )2 4 16m 0 1
6
方麦方程程克①④③②斯：：韦电安法磁方场培拉通程的电第连高流揭电续斯定磁示定律感了律：应电：传定磁场电导律场、场电：是可流磁变无以和化源场是位磁场的有移场；性源电产质场流生及；都感对电应 场、磁场 之3间、的电麦磁通力场过联克线的（闭系斯必产涡合。韦须生旋面方从有场的程正贡）磁组献电，通。荷其量的出电等微发力于分终线零形止是，式于闭磁（负合力电的线交荷。是变。闭场合）的。
间传播的，传播速度为v。
这种电磁场在空间以一定速度由近及远的传播过程称为 电磁波。
1888年赫兹（Hertz）用实验方法产生了电磁波，并做 了电磁波的干涉、衍射、偏振等实验，从而证实了光波是电 磁波。
光的电磁理论由此建立起来。
13
波长 (m) 3´ 10 -12
3´ 10 -8
g射线 X 射线
紫外
3
2、麦克斯韦方程组的积分形式（交变场）
高斯定理：
D
S
•
ds
Q
D：电感强度
B
S
•
ds
0
法拉第定理：
（涡旋定理）
d
E • dl
l
dt
B • ds t
H l
• dl
I
D t
• ds
B：磁感强度 E：电场强度 H：磁场强度
：磁通量
传导电流－电荷的流动
位移电流－电场的变化
变化的磁场产生涡旋电场 变化的电场产生涡旋磁场 后两个公式反映了磁场和电场之间的相互作用。
•E 0 •B 0
E B t
B E
t
等效算子：
ik i t
E 0 k E 0
同理得到 B 0 k B 0
27
2、E、B、k互成右手螺旋系。
EB t
B 1 kE
而
k2
v
B1 v(k0E )(k0E )
3、E和B同相
E 1 v
B
由于光速数值很大，故上述结果表明在真
微分形式：
•D
•B 0
（11－1） （11－2）
E B t H j D
揭示了电流、电场、磁 场相互激励的性质
t
（11－3） （11－4）
：封闭曲面内的电荷 度密 ；
微分算符（哈密顿算符）：
j： D：积位分移闭电合流回密路度上。的 导传 电流密度； i xj yk z t
7
第十一章 光的电磁理论基础
光旋涡(optical vortices)
1
第十一章 光的电磁理论基础(约16学时） 本章学习要求：
1、了解微分形式的麦克斯韦方程组、物质方程。 2、掌握光的电磁波表达形式和电磁场的复振幅描述。 3、理解光强的概念，掌握相对光强的计算。 4、掌握光在介质分界面上的反射、折射、全反射规律， 熟悉用菲涅耳公式计算反射或透射光波的振幅、强度 和能流，理解半波损失现象。 5 、掌握布儒斯特定律
(3)光波的频率
2 122 110461104Hz
(4)光波的相速度 (5)光波的波长
v3108m/s
k
20.51 0 6m0.5m
k
24
【例题3】一列平面光波从A点传播到B点，今在AB之间插入一 透明薄片，其厚度为 t 1mm ，折射率 n1.5 。假定光波的波 长 0 500nm， 试计算插入透明薄片后B点位相的变化。
面波的复振幅。
k 0 e x k ce o y k s si e zn
z
k
y
x
E ~ r A e i k x y cp o z ss i 0 n
【例题2】在国际标准单位制下，一单色平面光波的表示式为：
E ( 2 3 x 0 2 y 0 ) ei x 2 1 p 6 ( x 0 [3 y 6 1 8 t) 0 ]
平面波E的复A A 数eie形(kxr式p：it()k[rt)]
x
P(x,y,z)
k
平面波E的复A振eik幅r形式： Aexpi(kr)
r
o
g
z
y
s=r k
表示某一时刻光波在空间的分布，当只关心场振动的空间分布
时，用复振幅表示一个简谐光波。
20
【例题1 】 写出在yz平面内沿与y轴 成 角的方向传播的单色平
平面呈450角，则E和B的表达式？
解： 4 1 0 1 4 H z k 2 c 2 3 4 1 0 1 8 0 1 4 2 .7 1 0 6m 1
Ex0
y
Eyx,t1e0xi2p .7160 x3180 t
E z x ,t 1 0 e x p i2 .7 1 0 6 x 3 1 0 8 t
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描述波的物理量：
＝2 2 /T
v：振动频率
vT, 0 cT（真空中）：波长
0 / n
k 2 / / v
k：波数/ 空间角频率
k0 2 / 0 / c（真空中）
波矢量k：描述波的传播方向
等相面法线方向，波能量的传播方向（各向同
性介质），大小—波数
波动公式： E＝Acos2( z t )
＝0，j＝0
•E 0 •B 0
E B t
B E
t
E ＝－
t
B
2E t 2
E • E 2 E
结果 2： E2E0
t2
2B2B0
t2
(11-13) (11-14)
• E 0
拉普拉斯算符： 2 2 2 2
x2 y2 z2
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实际上在三维空间中传播的一切波动过程均可用下式表
E ~ (p )A e ik r
A
e ikx 2 y2 (z d )2
r
x2 y2 (z d )2
式中，k 2 ，A为距点光源单位距离处的振幅。
在z=0平面上的复振幅分布为：
E ~2d2
31
在傍轴近似条件下，复振幅分布为：
E~(x,
y)
Ae e ikd
i k (x2y2) 2d
二、物质方程（描述物质在场作用下特性的方程）
基本物理量 D E
B H
欧姆定律： j E
介电常数
磁导率
电导率
电磁场所在 物质的性质
在真空中： ＝0， ＝0＝8.854210－12C2 /N•m（ 2 库 2 /牛•米2） ＝0＝410－7N•S2 /C（ 2 牛•秒2 /库2）
麦克斯韦方程组
d
Aexpik(d)expi[k (x2 y2)]
d
2d
舍弃常数相位因子，得：
E~(x, y) Aexpi[ k (x2 y2)] d 2d
示：
2v12 2 t2 0
其中 代表振动位移矢量，v是波动传播速度。
该偏微分方程的通解是各种形式以速度v传播的波的
叠加。因此任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，
就可以肯定它是以v为传播速度的波动过程！
结果 2： E2E0
t2
2B2B0
t2
E、B满足波动方 程，表明电场和磁 场的传播是以波动 形式进行的
z0
z
结 2 果 E v 1 2 2 t： E 2 0
2 E1 2 E z 2 v 2 t2 0
令
z
t， z t
应用数理方法中行波法求解方程得
v
v
E＝ f1(v zt)f2(v zt) 和 B＝ f1(v zt)f2(v zt)
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2、解的意义：
E＝f1(
z v
t)
f2
(z v
t)
物质方程
描述时变场情况下电磁场普遍规律
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三、电磁场的波动性
（一）、电磁场的传播 随时间变化的电场在周围空间产生一个涡旋磁场 随时间变化的磁场在周围空间产生一个涡旋电场
互相激发，交替产生，在空间形成统一的场—电磁场 交变电磁场在空间以一定的速度由近及远地传播—电磁波
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（二）、电磁场波动方程
对于电磁场远（离无辐限射大源、均同匀性、、各透向明介