10,其他.
(1)确定常数e；
⑵写出X的分布函数；
(3)试求在20分钟内完成一道作业的概率；
(4)试求10分钟以上完成一道作业的概率.
解
(1)由密度函数的正则性，得
0.52C312 0 5
1=(ex2x)dx二(—x3x2)0
032
所以—21.
i)当x0时，
所以，X的分布函数
0,x 0;
F (x)二7x30.5x2,0空x0.5;
1,x-0.5.
⑶由X的分布函数F(x)，得
1PF(0)
二(—0
27 8 17
54；
(4)由X的分布函数F(x)，得
1
P(10min以上完成一道作业)=P(X -)
6
1
=仆(6)
103
108.
习题2.2P.84-86.
1.设离散型随机变量X的分布列为
解本问题的判断依据是：用10000元投资购买 该股票，通过比较今年买入和一年后买入两种买法的 相关指标的大小来判定理财顾问建议的正确性■
从股票市值的期望值指标来看：
投资10000元今年买入，得到5000股，记
X“今年买入，一年后这5000股的股票市值数”， 则X为离散型随机变量，且由于股票一年后的价格可 能是1元或4元，所以X的可能值为5000元，20000元■并且X的分布列为
14.设随机变量X的密度函数为
3
—x2,兰xw2;
p(x)=t8
[0,其他.
1
试求X7的数学期望.
解记
i
*g(x)K,
i
则X2的数学期望为
1咼2[33
E(亍)=EY= E[g(X)】=邛(x) p(x)dx=了&x2dx=彳
习题2.3P.91-92.
2.假设有10只同种电器元件，其中有两只不合 格品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如为不 合格品，则扔掉重新任取一只，如仍为不合格品则扔 掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合 格品只数的方差.
ii)当0 ”x“ 1时，
2
p(x)二F (x) =(x)二2x；
iii)当x二0或1时，F(x)不可导，但可不妨取
p(0)=p(1)= 0,
所以X的密度函数为
X,X 1；p(x)八
。其他.
16.学生完成一道作业的时间X是一个随机变量, 单位为小时，它的密度函数为
ex2+X，兰x兰0.5; p(x)二
概率统计课程第
6次作业参考解
第六次作业
参考解答
习题2.1P.75 77.
15•设随机变量X的分布函数为
0,x0;I2
F (x)=Ax,0乞x1;
h x".
试求：
⑴系数A；
(2)X落在区间(0.3,0.7)的概率；
(3)X的密度函数.
解依题设可知，X为连续型随机变量.
(1)连续型随机变量X的分布函数在(八，=)上 占占连续有
X=“一年后投资10000元买入该股票能买入的 股数”， 则X为离散型随机变量，且由于股票一年后的价格可 能是1元或4元，所以X的可能值为2500股，10000股.并且X的分布列为
X
2500
10000
P
1
1
2
2
1 1
EX- 2500100006250（股）
根据以上数据，可判定理财顾问的建议是正确 的.
X
5000
20000
P
1
1
2
2
于是
1 1
EX二5000㊁2000012500（元）
又如果是，不考虑原来的10000元的增值，一年 后投资10000元买入该股票，无论到时股票的价格是1元或4元，买入后股票市值都是10000元.
再从股票数量指标来看：
投资10000元今年买入，得到5000股.
如果是，不考虑原来的10000元的增值，一年后 投资10000元买入该股票，记
9.（此为思考题，同样提供参考解答）某人想用
10000元投资某个股票，该股票当前的价格是每股2
元，假设一年后该股票等可能的为每股1元和每股4
元。而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有 的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后 拥有的股票数量最大，则一年以后购买.试问理财顾问 的建议是否正确？为什么？
八、、八、、5IJ
F(1_0) =F(1)=1,
即A12-1,
所以，A= 1.
⑵利用X的分布函数F(x)得所求概率为
P(0.3X0.7)=P(0.3X乞0.7)
二F(0.7)-F(0.3)
-0.72-0.3— 0.4
■
(3)由于在F(x)的可导点处有:p(x)二F (x),
i)当x” 0或x1时，
p(x)二F (x)=0;
X
-2
0
2
P
0.4
0.3
0.3
试求EX和E(3X5).
解由已知分布和期望定义，得
EX=一2汇0.4+0汇0.3+20.3= -0.2
■
由随机变量函数期望的计算方法，得
E3X+5) =[3(-2)+于04 0 0+5T03十025T03=44.
或者，由期望的性质，得
E(3X 5) = 3EX 5 = 3 ( 0.2) 5 = 4.4.
解记
X= “在取到合格品之前，已取出的不合格品只数”， 则X为离散型随机变量，其可能值为0，1,2.而利用 概率的古典方法和乘法公式容易求得X的分布列为
X
0
1
2
36
8
1
P
—
—
—
45
45
45
c 36/
8c
1
2
EX =
0汉一+1汉
+2x
45
45
45
9
由此，得
E(X2^023612—22—4
45454515'
于是，在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的 方差为
6.(此为思考题，这里提供参考解答)试证：对 任意常数c=EX，有
DX二E(X-EX)2E(X-c)2.
Proof由于
E(X-EX)2-E(X -c)2二E[X2-2EXX(EX)2]-E(X2-2cX c2)