作业2（修改2008－10）4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布.解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L .5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.第1个能正确回答的概率是5/8,第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算31001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705kk k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.2) 用泊松近似律计算 331004100004(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!kk k kk k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑∑.8. 设X 服从泊松分布,分布律为(),0,1,2,!kP X k e k k λλ-===L .问当k 取何值时{}P X k =最大？解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,k =L ,则1/!/(1)!k k k e k a ke k λλλλλ+--==-,数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得1) 若1λ<,则(0)P X =最大.2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=⇔≥+≤⇔-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有[]{}1P X k k λλλλλ⎧=⇔=⎨-⎩不是整数最大或是整数.12. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形. 解 ()(,0)[0,1)0()()()0()0x xxF x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞-∞-∞==⋅+⋅+⎰⎰⎰⎰()01[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞-∞+⋅++-⎰⎰⎰()12[2,)12()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞+∞-∞+⋅++-+⋅⎰⎰⎰⎰()()112[0,1)[1,2)[2,)011()()(2)()(2)x xI x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-⎰⎰⎰⎰⎰22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.解 1021001()502cx p x dx cxdx c +∞-∞====⎰⎰, 1/50c =.2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0()()()()()()50100xxv x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞==+=+⎰⎰. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤8288222()3/550100x x p x dx dx ====⎰⎰.15. 设随机变量X 的密度为2x xce -+.求常数c .解 2221/2(1/2)1/41/41/1x t x xx t cedx c e dx ce e dt ce π=++∞+∞+∞-+--+--∞-∞-∞====⎰⎰⎰.由上式得1/41/2c e π--=.15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:Y X 0 1 2 3 0 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0 0.1 0.1 0.1 20.10.2求边缘分布.解 X 有分布k x0 1 2 ()k P X x =0.40.30.3Y 有分布k y0 1 2 3 ()k P Y y =0.10.20.30.4因为0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===⨯,所以X ,Y 不独立.18． 设随机向量(,)X Y 服从矩形{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤.解 1()(622)/62/32P X Y ≤=-⨯⨯=,1(,1)(11)/61/122P X Y X ≤≥=⨯⨯=,(,1)1/12(1|)1/8()2/3P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤===≤.22. 随机向量(,)X Y 有联合密度(,)(,)E p x y x y =,其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率. 解()222cos sin 20001(,)2x r y r Rx y Rp x y dxdy d cdr cR θθπθπ==+∞+∞-∞-∞<+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰因而12c Rπ=.而222{(,)}(,)Dx y r P X Y D p x y dxdy +≤∈==⎰⎰⎰⎰()cos sin 201/2x r y r rd dr r R R θθπθπ====⎰⎰.27. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =,10.9α=,20.95α=,30.99α=.解122()/(2)()i i k x i i i k P k X k dx μσμσμσαμσμσ+---=-<<+=⎰2/2()()2()1iix t k t i i i kdt k k k σμ=+--==Φ-Φ-=Φ-⎰. ()(1)/2i i k αΦ=+.代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.解2 设1~(0,1)2X Z N -=,则~(0,1)Z N . ()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμαμσμσσσσ--+--⎛⎫=-<<+==<<⎪⎝⎭()()()2()1i i i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i k αΦ=+.代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.28. 某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内. 解 设200~(0,1)X Z N σ-=,则~(0,1)Z N .195200205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--⎛⎫<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ⎪⎝⎭.{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥⇔Φ-≥15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-⇔≥Φ=⇔≤=.28. 设X 服从自由度为k 的2χ分布,即X 有密度/21/2(0,)/21()()2(/2)k x X k p x x e I x k --+∞=Γ.求Y . 解1当0y <时,()())0Y F y P Y y P y =≤==,()()0Y Y p y F y '==.当0y >时,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤=≤=≤=, 222/21/22(0,)/21()()2()2()()2(/2)k ky Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e I ky k --+∞'===⋅Γ ()()2/21/22/2/2k k ky k y e k --=Γ. 因而()()2/21/2(0,)2/2()()/2k k kyY k p y y e I y k --+∞=Γ.解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设()y f x ==x V ∈,则f 有反函数12()f y ky ϕ-==, y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ϕϕ'=22/21/22(0,)/212()()2(/2)k ky k ky ky e I ky k --+∞=⋅Γ()()2/21/22/2/2k k ky k y e k --=Γ.29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为222/(0,)()()xX p x I x α-+∞.其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度. 解1当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.当0y >时,2()()(/2)(Y X F y P Y y P mX y P X F =≤=≤=≤=,22/()(0,)()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'==222/()2/()y m y m αα--==. 因而22/()(0,)()()y m Y p y I y α-+∞.解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设2()/2y f x mx ==, x V ∈,则f 有反函数1()f y ϕ-==y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ϕϕ'=22/()(0,)y m X p I α-+∞=22/()(0,)()y m I y α-+∞.30. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2Y X =.求Y 的分布.解 X 有密度[1,2}1()()3X P x I x -=.Y 有分布函数()()Y F y P Y y =≤ 2()P X y =≤[0,)()(I y P X +∞=[0,)()()XI y x dx +∞=[0,)[1,2]()()I y x dx +∞-=[0,1)[1,4)[4,)1()()()3I y I y I y dy +∞-=++[0,1)[1,4)[4,)()()()y y I y +∞=+.31. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解 设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度[0,2]1()()2p I πθθπΘ=. 设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为()()(cos )X F x P X x P R x =≤=Θ≤.当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ⎛⎫⎛⎫=Θ≤=≤Θ≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因而落点的横坐标X 有概率密度(1,1)()()()X Xp x F x x -'==..34. 设随机变量X 服从在[0,1]上的均匀分布,求ln Y X =-的分布. 解 设(0,1)V =,则()1P X V ∈=.设()ln y f x x ==-, x V ∈,则f 有反函数1()y f y e ϕ--==, y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度[0,1](0,)(0,)()|()|(())()()()()y y y Y X G p y y p y I y e I e I y e I y ϕϕ---+∞+∞'===.36. 设X 和Y 独立,密度分别为[0,1]()()X p x I x =和(0,)()()y Y p y e I y -+∞=,求Z X Y =+的密度. 解 ()()()Z X Y p z p x p z x dx +∞-∞=-⎰()[0,1](0,)()()z x I x e I z x dx +∞--+∞-∞=-⎰ ()[0,1](,)()()z x z I x e I x dx +∞---∞-∞=⎰1()()[0,1)[1,)0()()zz x z x I z e dx I z e dx ----+∞=+⎰⎰ [0,1)[1,)()(1)(1)()z z I z e e e I z --+∞=-+-.37. 设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.解 X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数(0,)()(1)()x X F x e I x α-+∞=-和(0,)()(1)()y Y F y e I y β-+∞=-.1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =, (){min(,)}1{min(,)}S F z P X Y z P X Y z =≤=->()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-,()(0,)()()()()zs Z Zp z F z e I z αβαβ-++∞'==+. 2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =,(){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤= (0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--,()(0,)()()(())()z z z Z Zp z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+. 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+, ()(0,)(0,)()()()()()x z x Z X Y p z p x p z x dx e I x e I z x dx αβαβ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞=-=⋅-⎰⎰()()(0,)(0,)0()()zz x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==⎰⎰.因此,当αβ≠时, (0,)()()()z z Z p z e e I z αβαββα--+∞=--, 当αβ=时, 2(0,)()()z Z p z ze I z αα-+∞=.38. ,X Y 相互独立,1~(,)X αβΓ,2~(,)Y αβΓ.证明12~(,)Z X Y a αβ=+Γ+.(提示:称1110(,)(1)s t B s t u u dx --=-⎰为β函数,由微积分的知识知(,)()()/()B s t s t s t =ΓΓΓ+)解 (见命题A .2.1)43. 设12,,,n X X X L 独立,都服从参数为,m η的威布尔分布,即都有密度()/1(0,)()()mx m mmp x x e I x ηη--+∞=.证明12min(,,,)n X X X L 仍服从威布尔分布. 证 i X 1,i n =L 有分布函数 ()/1(0,)0()()mx v m mmF x I x vedv ηη--+∞=⎰,()()()///(0,)(0,)0()(1)()m mmv tx x tI x e dt eI x ηηη=--+∞+∞==-⎰.设12min(,,,)n Z X X X =L ,则Z 有分布函数11()()(min(,,))1(min(,,))Z n n F z P Z z P X X z P X X z =≤=≤=-≤L L 11()()1[1()]n n P X z P X z F x =->>=--L .()()//(,0](0,)(0,)1()()1()mmn nx x I x e I x e I x ηη---∞+∞+∞⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,接下来的证明过程可以有两种。