放缩法”证明不等式的基本策略
近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点,
以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一
提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。
放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
子分母均取正值的分式。
如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
n
J k
例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3-
它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运
用往往
对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。
下面结合一
例1、已知
a n 2n 1(n
N ).求证:
a
1
a
^
a 2 a 3
丑(n N
a n 1
).
证明：Q
皀
a
k 1
2k 1 2k
1 2(2k1
1)
1 3.2k
2k
2
1,2,..., n.
a_
a
2
a
2 a
3
a n
a
n 1
1 （
1 1
二（二 二
1 a_ 3 a
2 a
2 a 3
多项式的值变小。
由于证
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。
本题在放缩时就舍去了
2k 2，从而是使和式得到化简
例2、函数f (x ) =±-
1 4x
，求证:
（1）+f （ 2）
+…+f (n ) 证明：由
f(n)=
羊7=1--
1 4n
1
得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1
4
1 1
丄
2 21
2 22
1 1 *
芦
>1
此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征
,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子,
分母如果同时存在变量时
,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分
1
证明：£
a k
1
< 1
+ 兰
肩 紀寸(k- 1)k(k +
1)
------------------------------ =1 V (k- 1)(k+1) ( )=
n
k ^A k 1)(k 1)
5(k-1)
—寸(k+ 1)
=1 +1 +
T n A/(n+1)
V
2+
¥ <3
.
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项,
最后又放缩,
有的放矢，直达目标
4、放大或缩小因式” 例4、已知数列｛a n ｝满足a n
证明Q0 1 a 1 2，a
2 a n , a 2 n (a k k 1
a k 1)a k 2 16 n (a k k 1 a 1 - ,求证： (a k a
k 1)a
k
2
k 1
1
—,a 3
丄L.
当k
1时,0 4 16
1
1
—(a 1 a n 1 ) — 16 32'
n
1
2
a k 1) a k n
(a k 2
a
3
a ；,。
32
1
16,
本题通过对因式a k
2放大，而得到一个容易求和的式子
a k 1)，最终得出证明.
k 1
5、逐项放大或缩小 例5、设a n
J n(n 1)求证：
n(n 1) 证明：-
J n(n 1)
J n(n 1) J (n 扌)2
2 2n 1
a n
(n 1)2 2
^/n(n1)
••• 1 2
a
n
2n 2 1 3 (2n 1) •n(n 1)
2 ， (2)
a
n
(n 1)2
2
本题利用n
J n(n 1)
2n 1 2
，对a n 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简
的目的。
6、固定一部分项, 放缩另外的项;
例6、求证: 1
~2
n
1
证明：Q 士
n
n(n 1)
8、先适当组合，排序，再逐项比较或放缩
例8、.已知i , m 、n 是正整数，且 1 < i w m < n.
(1)证明：n i A m < m A 'n ; (2)证明：(1+m n > (1+n )
m
111 1 1 1 1
_ _ ___ I ___ 4 _ (_ 一 12 22 32 n 2 22 2 3
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧， 1 15
117
—-)1
-) 7- n 1 n 4 2 n 4
放缩拆项时，不一定从第一项开始， 须根据具体题型分别 对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
例7、已知a n 5n 4，证明：不等式 J 5a mn J a m a n 1对任何正整数 m, n 都成立 证明：要证 J 5 a mn
J a m a n 1 ，只要证5a mn 1 a m a n 2J a m a n .
因为 a mn 5mn 4 , a m a
In (5m 4)(5 n 4) 25mn 20(m n) 16 , 故只要证 5(5 mn 4) 1 25mn 20( m n)
16
2
J a m a n ,
即只要证 20m 20n 37
2
J a m a
n .
7、利用基本不等式放缩 因为 2
J a m a n a m a n 5m 5n 8 5m 5 n 8 (15m 15n 29)
20m 20n 37,
所以命题得证. 本题通过化简整理之后,
再利用基本不等式由
2J a m a n a m a n 放大即可.
证明: (1)对于 1 < i w m ,且 A m =m •- (m — i+1),
m i
m m 1 m i 1 同理 A m
m ' n i
由于 m < 所以
A n
n ,对于整数k=1, 2，…，i — 1,
A I
轸,即 m i A i n n i A m
m
(2)由二项式定理有:
(1 + m)n
=1+C 1
m+C n m 2
+ …+C n m n , (1 + n)m
=1+C m n+C m n 2
+…+C m
由(1)知 mA n > n i
A m (1 < i < m < n )，而
二 m i c i
n > n i C i
m (1 < m < n )
C i
A !
i!，C n
n
二 m 0c 0 = n 0
c n =1, mC n = nC m =m-
n ， m 2
C n >n 2
C m ，
1+c n m+c n m 2
+…+c n m n
> 1+c m
即(1 + m)n
> (1 + n)m
成立.
以上介绍了用 “放缩法 ”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方 法，有时还需要几种方法融为一体。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事 半功倍的效果。
但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。
因此，使用放缩 法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
掌 握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解 活， 从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力， 分析问题和解决问题的能力。
希望大家能够进一步的了 解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段 .
m m c m >n m c m ，m m+1c m 1
>0，… m n
c n > 0, n+C 2
m n 2
+…+C m
n m
.。