用放缩法证明不等式的方法与技巧一．常用公式1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12112-+<<++k k k k k3．22k k ≥()4≥k 4．1232kk ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯≥(2≥k )5．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学） 二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>11>，n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<= （5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++（8）1+⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== 三．常见题型（一）．先求和再放缩: 1．设11112612(1)n S n n =+++++，求证：1n S <2．设1nb n =（n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T <（二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：11112112123123n++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4．设222111123nS n =++++（1）求证：当2n ≥时，21n nS n <<+； （2）试探究：当2n ≥时，是否有65(1)(21)3n n S n n <<++？说明理由.5．设135212462n n b n -=⋅⋅⋅⋅，求证： （1）n b <（2）1231n b b b b ++++<6．设na n =，212()n n nb a a +=+求证（1）12n n a a +<+（2）*123()1n nb b b b n N n ++++<∈+7． 设2(1)nb n =+，(1)n a n n =+， 求证:1122111512n n a b a b a b +++<+++…8． 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 个图的蜂巢总数.(4),(5)f f 的值，并求()f n 的表达式（不要求证（1）试给出明）； （2）证明：11114(1)(2)(3)()3f f f f n ++++<.9．（10广州）设n S 为数列}{na 的前n 项和，对任意的∈n N*，都有()1nn S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{na 是等比数列；（2）设数列}{na 的公比()m f q =，数列{}nb 满足()1112,nn b a bf b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2nb 的前n 项和8918nT<．10．（010深圳）在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n =．（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42n nS n <+，n *∈N ．2．证：1nb n=21111()(2)22n b b b n n n n +==-++1324352n n n T b b b b b b b b +=+++11111111111[()()()()()]2132435462n n =-+-+-+-++-+11113(1)22124n n =+--<++ . 3．证明：1111112123123n++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＜211111222n -++++1122n -=-＜2 4．解：（1）∵当2n ≥时，21111(1)1n n n n n<=--- ∴2221111111111[(1)()()]2322311n n n ++++<+-+-++--+＝121n -+2< 又∵21111(1)1n n n n n >=-++ ∴11111(1)()()2231nS n n >-+-++-+1111n n n =-=++ ∴当2n ≥时，21n nS n <<+. （2）∵22144112()4(21)(21)2121n n n n n n =<=--+-+ ∴222111111111112[()()()]2335572121n n n ++++<+-+-++--+＝52321n -+53< 当2n ≥时,要6(1)(21)nn S n n >++只需61(1)(21)n nn n n >+++即需216n +>，显然这在3n ≥时成立 而215144S =+=,当2n ≥时6624(1)(21)(21)(41)5n n n ⨯==++++ 显然5445> 即当2n ≥时6(1)(21)nnS n n >++也成立综上所述：当2n ≥时，有65(1)(21)3n n S n n <<++.5．证法一：∵22414,n n -<∴222(21)(21)4(21)(21)4(21).n n n n n n n -+<⇒-+<-∴212n n -< ∴13521352124623572121n n n n n --⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=++.………………10分证法二：212n n -<=，下同证法一. …………10分证法三：（利用对偶式）设135212462n n A n -=⋅⋅，246235721n nB n =⋅⋅+， 则121n n A B n =+.又22414n n -<，也即212221n n n n -<+，所以n n A B <，也即2121n n n A A B n <=+， 又因为0n A >，所以n A <.即13521.246221n n n -⋅⋅⋅⋅<+ ………………10分 证法四：（数学归纳法）①当1n =时, 1123x =<,命题成立;②假设n k =时,命题成立,即135********k k k -⋅⋅<+,则当1n k =+时,135********24622(1)2(1)2(2)21k k k k k k k k k -+++⋅⋅⋅<⋅=++++ 2222222211(21)(23)4(1)4(1)234(23)(1)(483)(484)104(23)(1)4(23)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k +++-+-=++++++-++-==<++++22114(1)23k k k +∴<++ 即212223k k k +<++ 即135212124622(1)23k k k k k -+⋅⋅⋅<++故当1n k =+时，命题成立.综上可知，对一切非零自然数n ，不等式②成立. ………………10分②由于2121212121k k k k k <<+--+++-， 所以212121k b k k k <<+--+， 从而12(31)(53)(2121)211n b b b n n n ++<-+-+++--=+-.也即12211n n b b b a ++<+………………14分6． 证明：（法一）1112112322(1)211(),9(1)(1)1111223(1)n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a n n b a a n n n n b b b n n +++++>⋅∴<=+⋅+∴<<+++∴++++<+++⋅⋅+即分b11111111223111nn n n n =-+-++-=-=+++ ………………12分 （法二）（1）当212411,(),21192n b =====⨯+时右右，显然成立 …………5分（2）假设n k =时，21212()123k k b b b k k ++++<+++ ………………7分22222222221()1232(2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2)(23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++-++++++++-++=++⋅+++-++++=++⋅+2212110(1)(23)(2)21()123211112(1)1k k k k k k k k k k k b b b k k +-=<++⋅++∴+<+++++∴+++<=+++分即当1n k =+时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。

…………12分 6． 证明：（法一）1112112322(1)211(),9(1)(1)1111223(1)n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a n n b a a n n n n b b b n n +++++>⋅∴<=+⋅+∴<<+++∴++++<+++⋅⋅+即分b11111111223111nn n n n =-+-++-=-=+++ ………………12分 （法二）（1）当212411,(),21192n b =====⨯+时右右，显然成立 …………5分（2）假设n k =时，21212()123k k b b b k k ++++<+++ ………………7分22222222221()1232(2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2)(23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++-++++++++-++=++⋅+++-++++=++⋅+2212110(1)(23)(2)21()123211112(1)1k k kk k k k k k k k b b b k k +-=<++⋅++∴+<+++++∴+++<=+++分即当1n k =+时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。