不等式的证明
本文主要介绍用放缩法证明不等式的技巧。

一、项的添加与删除。

【例1】已知4,≥∈n N n ，求证：2
)
2)(1(2++>
n n n 。

证明：)12
)1(1()...1(2121++-++≥+++++=-n n n n C C C C n
n n n n n n
22324322++>
++=n n n n =2
)
2)(1(++n n 。

[练习1]
若N n x ∈>,0且1>n ，求证：nx x n
+>+1)1(。

二、利用分数的性质进行放缩。

【例2】若a , b , c , d ∈R +
，求证：21<+++++++++++<
c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a
证：记m =
c a
d d
b d
c c a c b b
d b a a +++
++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +
∴1=+++++++++++++++>
c
b a d d
b a d
c c a c b a b
d c b a a m
2=+++++++<
c
d d
d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立
【例3】求证：21
31211111232222<++++<+-n
n
证：∵
n n n n n
1
11)1(112
--=-< ∴2121113121211113121112
222<-=+-++-+-+<++++n n n n ∵1
11)1(112+-
=+>n n n n n ∴
11
23)111()3121(113121112
222+-
=+-++-+>++++n n n n 。

【例4】[1992年“三南”高考试题]求证：n n
21...31211<+
+++。

【例5】求证：
1
21212...654321+<-∙∙∙∙n n
n 。

【例6】[1998年全国]求证：)(13)2
31
1(...)711)(41
1)(11(*3N n n n ∈+>-+
∙∙+++
点评：
利用分数的性质进行放缩有以下几种技巧： （Ⅰ）
,)1(112-<k k k
,)1(112
+>k k k 1
21-+<k k k ；
1
21++>
k k k
；
（Ⅱ）若a 、b 、m R +
∈，且a b >，有：
①真分数的性质；（越加越大。

）
()0b m b b m
b m a m a a m -+<<->-+ ②假分数的性质：（越加越小。

）()0a m a a m
b m b m b b m
+-<<->+-
[练习2]
[1995年上海]求证：)2,(2
1
2)121
1(...)711)(511)(31
1(*≥∈+>-+∙∙+++n N n n n 证明：设,1
22......5634)1211(...)711)(511)(311(-∙∙∙=-+
∙∙+++n n n
三、利用已知不等式进行放缩。

【例7】求证：2
)1()1(...4332212)1(2
+<
+⨯++⨯+⨯+⨯<+n n n n n 。

【例8】当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n
证：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴
2
22
2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12l o g 2
2
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 四、利用函数的单调性进行放缩。

【例9】[2001年全国高考] 已知i , m , n 是正整数，且1i m n <≤<，求证：
(1)(1)n
m m n +>+。

五、利用函数的图象进行放缩。

【例10】在锐角三角形中，求证：2sin sin sin >++C B A 。