复旦附中2018学年第一学期高一年级数学期中考试试卷考试时间：120分钟，满分150分，请将答案写在答题纸上一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 集合{}∅的元素个数是_________2. 已知()f x =(2)f x -的定义域是__________3. 命题“若3x >或2y >，则224x y +>”的逆否命题是________________________ 4. 函数4y x x=+（0x >）的递增区间是____________5. 已知()f x 是定义在上的奇函数，若0x <时，()(2)f x x x =-，则0x >时()f x =__________6. 若关于x 的方程22(1)4(1)10a x a x -+++=无实根，则实数a 的取值范围是__________7. 函数221()()1x f x x ++=的值域为_______________8. 已知正实数,x y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 9.设集合,A B 是实数集的子集，[1,0]A C B ⋂=-，[1,2]B C A ⋂=，[3,4]C A C B ⋂=，则A =___________10. 已知定义在上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，则下列函数（1）|()|f x ，（2）(||)f x（3）1()f x ，（4）()()f x f x -，中在(,0)-∞上递减的是____________ 11. 设函数1(|)2|xf x x +=,区间[,]M a b =（a b <），集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(,)a b 有________对12. 对任何有限集S ，记()p S 为S 的子集个数。
设{1,2,3,4}M =，则对所有满足A B M ⊆⊆的有序集合对(,)A B ，()()p A p B 的和为_____________二、选择题（满分20分，每题5分） 13.已知x ∈，则12x >是12x <的（） A ．充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件14. 若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）A. (,)a b 和(,)b c 内B. (,)a -∞和(,)a b 内C.(,)b c 和(),c +∞内D. (,)a -∞和(),c +∞内15. 若整数集的子集S 满足条件：对任何,a b S ∈，都有a S b -∈，就称S 是封闭集。
下列命题中错误的是（）A. 若S 是封闭集且{0}S ≠，则S 一定是无限集B. 对任意整数,a b ，{|,,}S n n ax by x y ==+∈是封闭集C. 若S 是封闭集，则存在整数k S ∈，使得S 中任何元素都是k 的整数倍 D ．存在非零整数,a b 和封闭集S ，使得,a b S ∈，但,a b 的最大公约数d S ∉ 16. 设f 是定义在上的函数，下列关于f 的单调性的说法（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c d <，满足[,][,]c d a b ⊆，且f 在[,]c d 上递增 （2）若f 在上单调，则存在x ∈，使得(())f f x x ≠-（3）若对任意0a >，存在d ∈，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x ∈成立，则f 在上递增其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题（满分76分）17.（满分14分）已知命题:p 0x ≤或2x ≥，q ：x a ≤ （1）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围 （2）若对任意x ∈，,p q 中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围18.（满分14分）已知,αβ是关于x 的方程2220x kx k -++=的两实根，且αβ< （1）若1αβ<<，求实数k 的取值范围 （2）若,[0,3]αβ∈，求实数k 的取值范围19.（满分14分）对关于x 的不等式|2|3x a x -<+（*） （1）当1a =时，求解不等式（*）（2）若不等式（*）对一切[1,1]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围20.（满分16分）已知f 是定义在上不恒为0的函数，满足对任意,x y ∈，()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =（1）求f 的零点（2）判断f 的奇偶性和单调性，并说明理由 （3）①当x ∈时，求()f x 的解析式 ②当x ∈时，求()f x 的解析式21.（满分18分）（1）设实数0,1t ≠，若关于x 的方程2201t tx tx +=-+有实根，求t 的取值范围 （2）设r ∈，若存在实数0,1t ≠，使得r 是（1）中方程的实根，求r 的取值范围（3）设f 是定义在上的函数，若实数x 满足((()))f f f x x =，但()f x x ≠，则称x 是f的三阶不动点，对存在三阶不动点的一切函数2()f x x ax b =++（,a b ∈），及f 的一切三阶不动点x ，求|()||()(())||(())|m x f x f x f f x f f x x =-+-+-的最小值复旦附中2018学年第一学期高一年级数学期中考试答案一、填空题1. 12. (,2]-∞3.224. [2,)+∞5. (2)x x -+6. (5,1]3-- _____ 7．[0,2] 8. 9 9. ,1)(2,3()()4,∞⋃⋃+∞- 10. （1）（2）（3）11.3 12.2401二、选择题13． A 14． A 15． D 16． B三、解答题17．（1）,](,0][2,0()a q p a ∞⊆-∞⋃+∞-⇔⇒≤⇔ （2）x ∈，p 或q 为真,]((,0][2,))2(a a ∞⋃-∞⋃+∞=-⇔⇔≥18．记2()22f x x kx k =-++（1）1(1)303f k k αβ<<⇔=-<⇔>（2）24(2)003(0)20(34,[0,)11503]1125k k f k k k f k αβαβ⎧∆=⎪∈⎧⎪⇔⇔<≤⎨⎨≠⎩⎪⎪⎩-+>≤≤=+≥=-≥19．（1）1a =时，（*）为|21|3(3)214323x x x x x x -<+⇔-+<+⇔-<<<- （2）对一切[1,1]x ∈-，|2|3x a x -<+， 即(3)23x a x x -+<-<+，即333x a x -<<+ 记()3,[1,1]f x x x ∈-=-，()33,[1,1]g x x x ∈-=+则,f g 在[1,1]-递增，所以max (1)2f f ==-，min (1)0g g =-= 对一切[1,1]x ∈-，max min ()()f x a g x f a g <<⇔<<，即20a -<<20．记()()()f x y f x f y +=+①()()()f xy f x f y =②（1）在①中取0y =得(0)0f =. 若存在0x ≠，使得()0f x =，则对任意y ∈，()()()()0y yf x f x f x y f x =⋅==，与()f x 不恒为0矛盾。
所以0x ≠时，()0f x ≠f 的零点是0（2）在①中取y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，即()(),f x f x x -=-∈所以f 是奇函数。
,,y y x x ∈<时，2()()()()()(0f y f x f y f x f y x f -=+-=-=>所以f 在上递增。
（3）②中取,1x y =得2(1)((1))f f =. 因为(1)0f ≠，所以(1)1f = 对任意正整数n ，由①，(1)()(1)1n f n f n n f +=+=⨯=个，()()f n f n n -=-=-又因为(0)0f =，所以x ∈时，()f x x =对任意有理数m n（*,m n ∈∈），由①，)()())((()n m mm mf f nf n n n f m f n n=⋅=++=个，所以())(f m f m mn n n==，即对一切x ∈，()f x x =若存在x ∈，使得()f x x ≠，不妨设()f x x >（否则以()f x --代替()f x ，x -代替x 即可），则存在有理数α，使得()x f x α<<（例如可取1)[1](f x n x+-=，[]1m nx =+，mnα=）. x α<但(())f x f αα=>，与f 的递增性矛盾。
所以x ∈时，()f x x =21．（1）22403110t t t t tt ⎧∆=≥⎪⇔≤->-⎨⎪≠⎩-或（2）2222001100t r t t rr r t r t rt ⎧⎧==⎪⎪⇔--⎨⎨⎪⎪≠+≠+⎩+⎩+，所以 存在0,1t ≠，使得r 是关于x 的方程2201t tx tx +=-+的解⇔0,1r ≠，且关于x 的方程2201r rx rx +=-+有实数解 31r r ⇔≤->或（3）设x 是函数2()f x x ax b =++的三阶不动点， 记()y f x =①()z f y =②则((()))()x f f f x f z ==③记,,r x y s y z t z x =-=-=-，则0r s t ++=.①-②，②-③，③-①得()()()r x y a s s y z a t t z x a r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，因为()f x x ≠，即0r ≠，所以0,s t ≠，即x y a y z a z s r t s r a t x ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩④⑤⑥⑤-⑥得r r tt s =-，即21rs t t =-，又因为r s t +=-，所以,r s 是关于关于x 的方程2201t tx tx +=-+两根。
由（1）（2），(,3](1),,,r s t ∈-∞-⋃+∞. 因为0r s t ++=，所以,,r s t 中至少有一个为负，不妨设3t ≤-，则0r s t +=->，201t t rs =>-，所以,0r s >||||||26m r s t r s t t =++=+-=-≥当2294216a a b --=时，f 有三阶不动点542x a =-，满足6m =，所以m 的最小值为6。