《平行四边形的判定》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．BC＝AD 2．（5分）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）A．①②B．②④C．③④D．①③3．（5分）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3 4．（5分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等B．一组对边平行且相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相平分5．（5分）如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AC为对角线，已知点E、F在AC上，添加一个条件，可使四边形BFDE为平行四边形．7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC 的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．8．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有个．9．（5分）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是．10．（5分）如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB＝4，那么对角线AC+BD＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D 作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．12．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；（2）若∠BAC＝90°，请写出图中所有与线段BD相等的线段（线段BD除外）．13．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．14．（10分）已知：如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是线段AC的中点，连接BD并延长至点E，使BE＝2BD．连接AE，CE．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2所示，将三角板顶点M放在AE边上，两条直角边分别过点B和点C，若∠MEC＝∠EMC，BM交AC于点N．求证：△ABN≌△MCN．15．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D 从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．《平行四边形的判定》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．BC＝AD【分析】依据平行四边形的判定方法，即可得到不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件．【解答】解：当AB∥CD，AB＝CD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；当AB∥CD，∠A＝∠C时，可得AD∥BC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；当AB∥CD，BC＝AD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形；故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要记准平行四边形的判定方法．2．（5分）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）A．①②B．②④C．③④D．①③【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．【解答】解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．3．（5分）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确．故选：A．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．4．（5分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等B．一组对边平行且相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相平分【分析】直接根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；C、一组对边平行，另一组对边相等不能判定是平行四边形，错误；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．（5分）如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．【解答】解：A、AD∥BC，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、∠A＝∠C，∠B＝∠D能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；D、AB＝AD，CB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AC为对角线，已知点E、F在AC上，添加一个条件此题答案不唯一，如AE＝CF或AF＝CE，可使四边形BFDE 为平行四边形．【分析】可添加AE＝CF，首先连接BD，由平行四边形的对角线互相平分与对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得．【解答】解：连接BD交AC于点O．添加AE＝CF．理由：如图，设AC与BD交于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．故答案为：此题答案不唯一，如AE＝CF或AF＝CE【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC 的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为2或秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．【分析】分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析，根据平行四边形的性质，可得方程，继而可求得答案．【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CE﹣CQ＝6﹣2t，∴t＝6﹣2t，解得：t＝2；②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP＝4﹣t+4，CQ＝2t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣6，∴4﹣t+4＝2t﹣6，解得：t＝，∴当运动时间t为2或秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．故答案为：2或【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．8．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有6个．【分析】根据平行四边形ABCD的面积为2可以推知：①平行四边形的底边长为2，高为1；②正方形的边长为；可通过在正方形网格中画图得出结果．【解答】解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况：▱ABC2D3、▱ABC1D2、▱AC1BD1、▱AC2BC3、正方形ABD1C2、正方形ABC3C1．故答案为：6．【点评】本题考查了平行四边形的判定．本题应注意数形结合，防止漏解或错解．9．（5分）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴用刻度尺量了这个四边形的四条边长，判定两组对边是否分别相等即可；故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．10．（5分）如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB＝4，那么对角线AC+BD＝12．【分析】△AOB的周长为10，则AO+BO+AB＝10，又AB＝4，所以OA+OB＝6，根据平行四边形的性质，即可求解．【解答】解：因为△AOB的周长为10，AB＝4，所以OA+OB＝6；又因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC+BD＝12．故答案为12．【点评】此题主要考查平行四边形的对角线互相平分．在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D 作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．【分析】（1）想办法证明DF∥AE，EF∥AD即可；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD＝DB，DE∥BC，∴AE＝EC，∵EF∥AB，∴BF＝CF，∵AD＝DB，∴DF∥AC，∵EF∥AB，∴四边形DFEA是平行四边形．（2）情形1：当点D是AB的中点，由（1）可知：DE∥BC，DF∥EC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠EDF＝90°，△DEF是直角三角形，此时AD＝AB＝×＝5．情形2：如图，当∠DFE＝90°时，设AD＝x．则AE＝x．BD＝10﹣x，EC＝8﹣x，BF＝（10﹣x），CF＝（8﹣x），∵BF+CF＝6，∴（10﹣x）+（8﹣x）＝6∴x＝，综上所述，AD的值为5或．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；（2）若∠BAC＝90°，请写出图中所有与线段BD相等的线段（线段BD除外）．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠BDE＝∠F AE，求出DE＝AE，再根据全等三角形的判定定理推出即可；（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD＝CD＝BD，求出四边形AFCD 是菱形，根据菱形的性质得出CF＝AF＝CD＝AD，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，即AF∥BC，∴∠BDE＝∠F AE，∵AD是BC边上的中线，E是AD的中点，∴CD＝BD，DE＝AE，在△BDE和△F AE中∴△BDE≌△F AE（ASA），∴AF＝BD，∵BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥BC，∴四边形CDAF为平行四边形；（2）解：∵在△AC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∵四边形CDAF为平行四边形，AD＝CD，∴四边形CDAF为菱形，∴AF＝CF＝CD＝AD，即BD＝CD＝AD＝CF＝AF，图中所有与线段BD相等的线段有CD、AD、CF、AF．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能综合运用定理进行推理是进而此题的关键．13．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质证出∠ADC＝∠FCD，然后再证明△ADE≌△FCE可得AD＝FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；【解答】证明：∵在▱ABCD中，AD∥BF．∴∠ADC＝∠FCD．∵E为CD的中点，∴DE＝CE．在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）∴AD＝FC．又∵AD∥FC，∴四边形ACFD是平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．14．（10分）已知：如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是线段AC的中点，连接BD并延长至点E，使BE＝2BD．连接AE，CE．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2所示，将三角板顶点M放在AE边上，两条直角边分别过点B和点C，若∠MEC＝∠EMC，BM交AC于点N．求证：△ABN≌△MCN．【分析】（1）先证BD＝DE，再加上AD＝DC的条件可直接得出结论；（2）先CM＝CE＝BA，然后由“角角边”定理直接得出结论；【解答】解：（1）∵点D是线段AC的中点，BE＝2BD，∴AD＝CD，DE＝BD，∴四边形ABCE是平行四边形．（2）∵四边形ABCE是平行四边形，∴CE＝AB，∵∠MEC＝∠EMC，∴CM＝AB，在△ABN和△MCN中，，∴△ABN≌△MCN（AAS）；【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D 从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠C＝30°，根据直角三角形的性质求出DF，得到DF＝AE，根据平行四边形的判定定理证明；（2）分∠EDF＝90°、∠DEF＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝30°，∴AB＝AC＝30，由题意得，CD＝4t，AE＝2t，∵DF⊥BC，∠C＝30°，∴DF＝CD＝2t，∴DF＝AE，∵DF∥AE，DF＝AE，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠EDF＝90°时，如图①，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，解得，t＝，当∠DEF＝90°时，如图②，∵AD∥EF，∴DE⊥AC，∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），解得，t＝12，综上所述，当t＝或12时，△DEF为直角三角形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定、直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理、含30°的直角三角形的性质是解题的关键．。