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2.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是x= .
答案 2 解析 由一次函数与一元一次方程的关系可知一次函数图象与x轴交 点的横坐标即为一元一次方程的解,即x=2.
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知识点二 一次函数与一元一次不等式 3.(2017湖南湘潭中考)一次函数y=ax+b的图象如图19-2-3-1所示,则不等 式ax+b≥0的解集是 ( )
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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解析 由图象可知,当x>1时,函数y1=x+b的图象在y2=kx+4的图象的上方, ∴关于x的不等式x+b>kx+4的解集为x>1.故选C. 答案 C 解题归纳 本题考查了利用一次函数的图象解不等式,解答本题也可以 利用待定系数法求出两函数解析式,再解不等式.
程可以转化为ax+b=0(a,b为 ⇔函数y=ax+b(a≠0)中, ⇔函数y=ax+b(a≠0)的
实数,a≠0)的形式,所以解一 y=0时对应的x的值
图象与x轴交点的横坐
元一次方程可以转化为求
标
某个一次函数的函数值为0
时的自变量的值
利用一次函数的图 象解一元一次方程 的步骤
(1)转化:将一元一次方程转化为一次函数. (2)画图象:画出一次函数的图象. (3)找交点:找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解
一次不等式
次不等式可以看作:当一次函数的函数值大于0(或小于0)时,求自变量x的取值范围,
也可以把一次函数y=ax+b的图象在x轴上方(或下方)的点所对应的x的取值集合看
作不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集
举例
如图是一次函数y=-2x-2的图象,从图中可以看出,当x<-1时,函数值大于0,所以不等 式-2x-2>0的解集是x<-1;同理,不等式-2x-2<0的解集是x>-1
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初中数学（人教版）
八年级 下册
第十九章 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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知识点一 一次函数与一元一次方程
内容
叙述
从“数”上看
从“形”上看
一次函数与一元一 次方程的关系
由于任何一个一元一次方 方程ax+b=0(a≠0)的解 方程ax+b=0(a≠0)的解
1.二元一次方程⇔一次函数⇔一条直线;
自变量的值及函数值⇔两条直线的交点坐标
2.二元一次方程的解⇔一次函数两变量的对应值⇔直
线上点的坐标
知 识 详 解
温馨 提示
1.两条直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系: (1)两条直线有交点(相交)⇔方程组只有一个解; (2)两条直线无交点(平行)⇔方程组无解; (3)两条直线是同一直线(重合)⇔方程组有无数个解. 2.用一次函数的图象解二元一次方程组的步骤: (1)转函数:把两个方程转化为两个一次函数的形式; (2)画图象:在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象; (3)找交点:根据交点坐标写出方程组的解
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当x>-1时,y>0;当x=-1时,y=0;当x<-1时,y<0. (2)由图象可知当-3<x<0时,-4<y<2. (3)由图象可知当-2≤y≤2时,-2≤x≤0. 方法点拨 在(1)中利用图象解方程或不等式时,关键是确定图象与x轴 的交点坐标,实际解题时可能会有误差,应注意先通过观察得出坐标的 近似值,再代入方程验证后方可确认.
3, 满足2x-y=7,3x+y=8,
1
故方程组
2x 3x

y y

7, 8
的解为

x y

3, 1.
图19-2-3-4
温馨提示 由于所画图象有误差,所以用图象法求出的方程组的解多数
情况下是近似解,可以通过检验知道它是否正确,这种解法很直观,对理
解数形结合思想很有帮助.
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解析 由2x-y=7,得y=2x-7;
由3x+y=8,得y=-3x+8.
在同一直角坐标系内作出函数y=2x-7的图象l1和y=-3x+8的图象l2,如图1 9-2-3-4所示,
由图象知l1与l2的交点坐标为P(3,-1).
经检验

x y

,则方程组
4x

x

y
y 1
7, 的解为
.
答案
x 2
(2,-1);

y

1
解析 在同一直角坐标系中作出一次函数y=7-4x与y=1-x的图象,如图
所示,由图象可知交点坐标为(2,-1).由y=7-4x,得4x+y=7.由y=1-x,得x+y=
1,故方程组
4 x
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例1 画出函数y=2x-1的图象,并利用图象求方程1-2x=0的解.
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分析 画出函数图象后,求出直线y=2x-1与x轴交点的横坐标,即为2x-1= 0的解,也就是1-2x=0的解. 解析 如图19-2-3-1所示,由图象知直线y=2x-1与x轴的交点坐标为
k b 4, k b 0,
解得
k b

2, 2.
所以该一次函数的解析式为y=2x+2.
一次函数y=2x+2的图象如图19-2-3-6所示.
图19-2-3-6 (1)由图象可知,直线y=2x+2与x轴交于点(-1,0),
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
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栏目索引ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识点一 一次函数与一元一次方程 1.直线y=3x+9与x轴的交点坐标是 ( ) A.(0,-3) B.(-3,0) C.(0,3) D.(3,0)
答案 B 当y=0时,3x+9=0,解得x=-3.故直线与x轴的交点坐标为(-3,0).
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x y y 1
7,
的解为

x y

2, 1.
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如图,两直线l1,l2的交点坐标(2,2)可以看作关于x,y的方程组的解,求这 个方程组.
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解析 由题图知,直线l1经过点(0,6)和点(2,2),
分析 首先用待定系数法求出一次函数的解析式,然后在平面直角坐标 系中描出A(1,4),B(-1,0)两点,过这两点画直线,再结合图象,解答各问题.
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解析 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), 把点A(1,4),B(-1,0)分别代入y=kx+b中,
得
图19-2-3-2
解析 因为直线呈下降趋势,点A的坐标为(2,3),所以求当y<3时x的取值 范围,即求直线上纵坐标小于3的点所对应的横坐标的取值集合,从图象 上可以看出x的取值范围为x>2.
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知识点三 一次函数与二元一次方程(组)的关系
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5.一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为
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题型一 利用函数图象解不等式 例1 (2015山东济南中考)如图19-2-3-5所示,一次函数y1=x+b与一次函 数y2=kx+4的图象交于点P(1,3),则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是 ()
A.x>-2 B.x>0
图19-2-3-5 C.x>1 D.x<1
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
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解法二:在同一直角坐标系中分别画出函数y=3x+2与函数y=2x-1的图象
(如图19-2-3-3所示),可以看出,它们交点的横坐标为-3.
图19-2-3-3
当x>-3时,对于同一个x值,直线y=3x+2上的点总在直线y=2x-1上相应点 的上方,此时3x+2>2x-1,故不等式3x+2>2x-1的解集为x>-3. 温馨提示 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直 线上点的位置的高低.
12 ,0,
图19-2-3-1
∴方程2x-1=0的解为x= 1 ,即方程1-2x=0的解为x=1 .
2
2
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知识点二 一次函数与一元一次不等式
一次函数与一元 将一元一次不等式转化为ax+b>0(或ax+b<0)(a、b为常数,a≠0)的形式,则解一元一
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题型三 解与不等式有关的问题
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例3 (2015贵州六盘水中考)联通公司手机话费有A套餐(月租费15元,
通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A
套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.
(1)分别表示出y1与x,y2与x的函数关系式;
19.2.3 一次函数与方程、不等式
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题型二 一次函数图象与方程、不等式的综合应用 例2 已知一次函数的图象过点A(1,4),B(-1,0),求该一次函数的解析式 并画出它的图象,再利用图象求: (1)当x为何值时,y>0,y=0,y<0; (2)当-3<x<0时,y的取值范围; (3)当-2≤y≤2时,x的取值范围.