九年级数学竞赛专题 第一讲 因式分解一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ）A ．(2a+3)()2a-3)=4a 2-9;B ．4m 2-9=(2m+3)(2m-3)C ．m 2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m;D ．2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz – 3y – 3z2．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．-7ab – 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y);B ．)3(33111x y y x y xy x n m n m n m +-=+---+ C ．6)133)((2)(2)(2+--=---b a b a a b b a ; D ．xy(x – y ) – x (y – x ) = x (x – y )(y – 1 )3．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．)444221)(221()(81223b ab a b a b a b a ++++++-=+-B ．)2)(2(4)(222222222xy y x xy y x y x y x -+++=-+C ．22)1(4448-=--a a aD ．))()(()()(22b a b a y x x y b y x a -+-=-+-4．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．ab – a + b + 1 = (a – 1)(b + 1)B ．4xy + 1 – 4)21)(21(22y x y x y x ---+=-C ．3a – 3b + 3x – bx = (a – b )(3 – x )D ．)21)(21(41422y x y x y x xy --++=--+-5．下列因式分解的变形中，正确的是（ ）A ．))(1()1(22a x x a x a x --=++-B ．)13)(12(61652++=++m m m m C ．))(()(2222222b y a y b a y b a y ++=+⋅++D ．)1)(4)(2)(1(8)3(2)3(222-+--=----x x x x x x x x二、填空题1．在代数式164)3(,)2(,144)1(2222++++-n n mn m x x 中是完全平方式的是__________。

2．若：922-+ax x 被2x – 3 除后余3，则商式是__________，且a = __________。

3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是___________。

4．乘积)1011)(911()311)(211(2222---- =________________。

5．已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数___________整除。

三、解答题1．分解因式42(1)23x x +-; 42(2)29x x ++; 22(3)(1)(1)4a b ab ---2(4)23x xy x y -++-; 2222(5)(1)(1)a a a a ++++;3(6)()2(1)1m n mn m n ++---; 22(7)(1)(2)12a a a a ++++-;432(8)1256895612x x x x -+-+2．已知三角形的三条边a,b,c 适合等式：abc c b a 3333=++，请确定三角形的形状。

3．已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。

4．已知：2x – 3 和 3x + 1是f(x) = 153223+++x bx ax 的因式，求a,b 的值。

5．证明：（1）若n 为整数，则22)12()12(--+n n 一定是8的倍数；（2）若n 为正整数时，3n - n 的值必是6的倍数；（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。

答案一、选择题1．B2．C3．D4．D5．C提示：1．依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。

只有选项B 正确，其中选项A 、D 均为整式乘法。

2．按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项C 正确。

3．利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D 正确，选项B 因式分解的结果并不彻底。

4．利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D 正确。

5．利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C 正确，选项B 非恒等变形。

二、填空题：1．1；2．X+4.5；3．110平方厘米；4．2011； 5．7、11、13提示：1．若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。

而只有（1）式=2)12(-x 是完全平方式。

2．根据题意，利用大除法： 2)3(32)3(3)3(9)3(32923222+++-+-+--+-a x a x a x a xx ax x x ∴3]2)3(3[9=+---a a = 5 ∴42)3(+=++x a x ，即：商式为x + 4，且a = 5. 3．依题意，原正方形面积为275.12厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差公式：乘下的面积就是12.752- 7.252=(12.75+7.25)(12.75 - 7.25) = 110平方厘米4．原式222222222210110919414313212-⋅-⋅-⋅-⋅-= 201110119910845334221122222=⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯=5．依题意，设所求的站位数为：abcabc ，a,b,c 均为自然数，则abcabc c b a c b a +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10101010102345)10100(1001)110)(1010()1010()1010(1032223c b a c b a c b a c b a ++=++⨯+⨯=+⨯+⨯++⨯+⨯=∵1001=7×11×13， ∵a,b,c 为自然数，∴100a + 10b + c 为自然数∴7abcabc abcabc abcabc |13,|11,|三、解答题1．分解因式：（1）十字相乘法：原式)1)(1)(3(2-++=x x x（2）配方法：原式=)32)(32(22+++-x x x x（3）配方法：原式ab b a b a 412222-+--= )1)(1()()1()2()21(222222b a ab b a ab b a ab ab b a ab b a ---++-=+--=++--+=（4）原式=y xy x x +--+322)3)(1()1()1)(3(+--=---+=y x x x y x x（5）法1：原式=23422212aa a a a a ++++++222222223234234)1()1()1()1(11232++=++++++++=++++++++=++++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a法2：原式=2222)(12a a a a a +++++ 22222)1()()(21++=++++=a a a a a a a（6）法1：原式=1222)23(223223---+++++mn n m mn n mn n m m )1)(1()1()1()1()1()1(1122222222232233223++++-+=-++-++-++-++-+=-++-+--++-++-+=-++++=n m n m n m n m n m n n m m m n n n m m n m n n nm m nm m n m n n m n m m mn n mn n m m法2：原式=)1(21)(33n m mn n m --+-+ )1)(1()1(2]1)())[(1(222++++-+=-+-++++-+=n m n m n m n m mn n m n m n m （7）原式=122)(3)(222-++++a a a a)1)(2)(5()2)(5(222-+++=-+++=a a a a a a a a（8）反数法：原式=)(5689)1(12324x x x x +-++ )23)(32)(12)(2()6136)(252(]13)1(6][5)1(2[]65)1(56)1(12[)]1(568924)1(12[)1(5689)1(12222222222222----=+-+-=-+-+=++-+=+-+-+=+-++=x x x x x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x x x xx x2．解，依题意：abc c b a 3333=++而abc c b a 3333-++abc c b a 3333-++))(()(3])())[((3)(3)(3]3))[((3))((222223332322=---++++=++-+⋅+-+++=-++-+=-+-++=-++-+=bc ac ab c b a c b a c b a ab c c b a b a c b a abcc b a ab b a abcc ab b a b a abcc b ab a b a∵a,b,c 为三角形的三边长 ∴a + b + c > 0 ∴0)()()(022202222220222222222222222=-+-+-=+-++-++-=---++=---++c b c a b a c bc b c ac a b ab a bc ac ab c b a bc ac ab c b a∵0)(,0)(,0)(222≥-≥-≥-c b c a b a∴只有0)(,0)(,0)(222=-=-=-c b c a b a∴a = b = c ，即三角形为等边三角形注：abc c b a 3333-++也可如下分解：原式=abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++))(()(3)(22233ab bc ac c b a c b a c b a ab c b a ---++++=++-++=3．解：设这三个奇数依次为n – 2 , n , n + 2，其中n 为自然数，则n > 2，则依题意： (n - 2)2 + n 2 + (n+2)2 = 251 3n 2=243 n 2=81∴ n = 9或-9当n = 9时，n – 2 = 7, n + 2 = 11;当n = - 9时,n – 2 = - 11, n + 2 = -7.所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-114．解：若(2x – 3 )和(3x + 1)都是f(x) = ax 2+bx 2+32x + 15的因式，则(2x – 3 )(3x + 1 ) = 6x 2-7x – 3能整除f(x)。