高中数学竞赛专题讲座（解析几何）一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。

从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。

{若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+b y a y (a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+by a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ace =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。

若P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为12020=+byy a x x ；2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；{3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。

6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。

7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为12222=-by a x ， 参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为12222=-bx a y 。

《8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线12222=-b y a x (a, b>0), a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,22c a x c a x =-=离心率a c e =，由a 2+b 2=c 2知e>1。

两条渐近线方程为x a ky ±=，双曲线12222=-by a x 与12222-=-b y a x 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。

若a=b ，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222=-by a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它的两个焦点。

设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P（x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ2222cos 2c a ab -。

10．抛物线：平面与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点F 坐标为)0,2(p ，准线方程为2px -=，标准方程为y 2=2px(p>0)，离心率e=1.11．抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2p x +； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为θ2cos 12-p。

$12．极坐标系，在平面取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面任意一点P ，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若0<e<1，则点P 的轨迹为椭圆；若e>1，则点P 的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P 的轨迹为抛物线。

这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为θρcos 1e ep-=。

二、方法与例题1．与定义有关的问题。

例 1 已知定点A （2，1），F 是椭圆1162522=+y x 的左焦点，点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。

[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=2245-=3,53==a c e .椭圆左准线的方程为325-=x ，又因为1161254<+，所以点A 在椭圆部，又点F 坐标为（-3，0），过P 作PQ 垂直于左准线，垂足为Q 。

由定义知53||||==e PQ PF ，则35|PF|=|PQ|。

所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+35|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM ⊥左准线于M)。

所以当且仅当P 为AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得4155±=x ，又x<0，所以点P 坐标为)1,4155(- 例2 已知P ，'P 为双曲线C ：12222=-by a x 右支上两点，'PP 延长线交右准线于K ，PF 1延长线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。

求证：∠'P F 1K=∠KF 1Q.[证明] 记右准线为l ，作PD ⊥l 于D ，l E P ⊥'于E ，因为EP '|'||'|||||E P K P PD PK =|'||'|||||11E P F P e PD PF ==|'||||'||||'|||11K P PK E P PD F P PF ==K F P 1'212121),23(y x 21||=d MF 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即2a 2a 2b 2b 442222b y a x -=-.42222b a y x -=-3π3π⎪⎭⎫ ⎝⎛θtan 23,23.3tan tan 23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πθθy OBPM ⊥23tan 23--x y θ)3tan(πθ-.2332⎪⎭⎫ ⎝⎛-x )3tan(πθ-.32y .3tan 3tan3⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==πθθπ)3tan(πθ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+3tan tan 13πθθ1124)4(22=--y x 12222=-b y a x x ⊥a b 2-a b 2.cos sin sin ,cos sin 20αααααb a ac ab x b a ab c ++=-=ααααα222220cos cos sin sin 2)sin (b ab a c b b a cx -++=ααααα222222sin cos sin sin )sin (c b ab a c b b a +-++=)sin )(sin ()cos sin (sin )sin (2b c b c b a a c b b a +-+++=αααααα,)sin (cos sin 0x c b a b a ααα+=+,)sin (sin 2020b c x a ba cx -=ααca x 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222121,2,,2y p y B y p y A ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2y p C ⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ),2(121y py OA =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2y p OC ),22(121y pp y FA -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222,22y p p y FB FBFA //py 2212221222p y p y y p +-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-22)(2121p p y y y y 21y y ≠02221=+pp y y 022121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y p p y y 0221221=⎪⎭⎫⎝⎛--y p y p y //12222=+b y a x ⊥22||1||1OB OA +θπ+2.1cos sin ,1sin cos 2222222222212221=+=+br a r b r a r θθθθ222221sin cos 1b a r θθ+=.cos sin 1222222b a r θθ+=222211||1||1b a OB OA +=+⊥33t r r =21222111r r +)12(41)11)((4122222122212221tt r r r r r r ++=++=+θθθ222222222221sin 1sin cos 1b a b a a b a r -+=+=2212111b r a ≤≤以b a t a b ≤≤。

又函数f(x)=x+x 1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22a b 上单调递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,1b a 上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当a b t =或ba时，|AB|取最大值332。

|例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为23，若圆C ：=-+22)23(y x 1上点与这椭圆上点的最大距离为71+，试求这个椭圆的方程。

[解] 设A ，B 分别为圆C 和椭圆上动点。

由题设圆心C 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A ，B ，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值71+，所以|BC|最大值为.7因为23=e ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t 3,t ，椭圆方程为142222=+t y t x ，并设点B 坐标为B(2tcos θ,tsin θ)，则|BC|2=(2tcos θ)2+223sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θt =3t 2sin 2θ-3tsin θ+49+4t 2=-3(tsin θ+21)2+3+4t 2. 若21≤t ，则当sin θ=-1时，|BC|2取最大值t 2+3t+749<，与题设不符。