问题4 这说明椭圆具备什么性质呢
椭圆是轴对称图象，也是中心对称图 形。X轴和Y轴是它的对称轴，坐标原 点是它的对称中心。
结论 通过上面的分析,我们得
到判断曲线是否对称的方法:
?以-x代换x,若方程不变,则曲线关于 y轴对称;若以-y代换y,方程不变,曲 线关于x轴对称;
?同时以-x代换x,以-y代换y,方程不 变,则方程关于坐标原点对称.
1 椭圆的定义:平面内到两定点 距离之和(2a)大于定长(2c)的 点的轨迹.(2a>2c)
2 椭圆的标准方程
x2 (1) a 2
?
y2 b2
?
1( a
?
b
?
0)
x2 (2) b 2
?
y2 a2
? 1(a
?
b?
0)
?
x2 ? y2 ? 1(m ? 0,n ? 0,m ? n) mn
探索新知
通过研究 曲线的方程,可以知道曲线的 性质.下面我们就以椭圆的标准方程
（1）长轴是短轴的3倍，经过点P（3，0）
（2）过点（2，0）、（1， 3 3 ）
2
（3）与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距， 且离心率为 5
5
例3 如图,我国发射的第一颗人造卫星的轨道 ,是
以地心F2为一个焦点的椭圆 .已知它的近地点 A距地 面439km, 远地点 B距地面 2384km, 并且 F2,A,B在同一 条直线上,地球半径为 6371km, 求人造卫星运行的轨
?
y2 b2
?
1
(a ? b ? 0)
x2 b2
?
y2 a2
?
1
(a ? b ? 0)
圆
的
范围
-a ? x ? a
-a ? y ? a
几
-b ? y ? b
-b? x ? b
何 性
对称性 对称轴 x 轴 y轴 对称轴 x 轴 y轴 对称中心 坐标原点 对称中心 坐标原点
质
顶点 (±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0)
在下列方程所表示的曲线中 ,关于X
D 轴和Y轴都对称的是 (
)
A.x2=4y
B.x2+2xy+y=0
C.x2-4y2=5x
D.9x2+y2=4
三、顶点
如图,设椭圆的方程为
x2 a2
?
y2 b2
?
1(a
?
b
?
0)
同学们计算一下椭圆与坐标轴的交点坐标.
答案:A1(-a,0) A2(a,0) B1(0,-by)B2(0,b)
离心率
e ? c ( 0<e<1) a
小结：基本元素
{1}基本量：a、b、c、共七个点）
{3}基本线：对称轴（共两条线）
请考虑：基本量之间、
基本点之间、基本线
之间以及它们相互之 间的关系（位置、数
A1
量之间的关系）
y B1(0,b)
o
A2 x
B2(0,-b)
道方程(精确到1km).
解:如图,建立直角
坐标系,使A,B,F2在
x轴上,F2为椭圆的 右焦点(F1为左焦
BF1
. .F2
A
点).
归纳小结
椭 圆 的
一、几
何 性 质
1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率
二、 性质的简单应用
三、曲线对称性的判定方法
祖冲之
华罗庚
苏步青
又因为长轴在x轴上,所以椭圆的标 准方程为
x2 ? y2 ? 1 94
(2)由已知,2a=20,e=0.6
∴a=10,c=6∴b=8
因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可
能在y轴上,所以所求椭圆的标准方
程为: x2 ? y2 ? 1 或 x2 ? y2 ? 1
100 64
64 100
练:求适合下列条件的椭圆的标准方程
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
b?
0)
为例研究椭圆的几何性质.
问题1: 你能找出上述方程中x、y的取值
范围吗?
由上式知
x2 a2
?1
y2 b2
?1
所以 x2 ? a 2 y2 ? b2
一、椭圆的范围
由 x 2 ? y 2 ? 1?
a2
b2
x2 a2
?
1和
y2 b2 ? 1
即 x ? a和 y ? b
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆
方程变为圆
e ? c 叫做椭圆的离心率. a
因为 a > c > 0，所以：e的取值范围: 0<e<1
? c ? １
椭圆更扁
a
? c ? ０ 椭圆更圆
a
通过上面的研究,我们得到了椭圆的一些 几何性质, 列一个表:
椭
椭圆方程
x2 a2
2a=10,2b=8
Y
注意:强调长轴=2a 短轴=2b
O
X
例2 求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
解: (1)由椭圆的几何性质可知,以
坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的 交点就是椭圆的顶点,所以这两点是 椭圆的顶点,
∴a=3,b=2
在椭圆的标准方程中,椭
B2
圆与坐标轴的交点
叫椭圆的顶点
A1
O
线段A1A2叫做椭圆的长轴
B1
线段B1B2叫做椭圆的短轴
A2 X
B2F2 =a OF2 =C
y B2
A1 F1 O F2 A2 X B1
OB2 =b
直角三角形OB2F2,它反应了 椭圆三个基本量之间的关系,
所以叫做椭圆的特征三角形.
问题 同学们看下面这些椭圆,它们的
例题1
求椭圆 16x 2+25y 2=400 的长轴和短轴的 长、离心率、焦点和顶点的坐标 ,并画 出它的图形 .
解: 把方程化为标准方程
x2 ? y2 ? 1 25 16
所以a=5 ,b=4
c= 25 ? 16 ? 3
所以,焦点坐标为(-3,0),(3,0)
顶点坐标为(-5,0)(5,0)(0,4)(0,-4)
扁圆程度不同,我们能否找一个量来描 述它们呢?
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e ? c
叫做椭圆的离心率。
a
[1] 离心率的取值范围：
y
因为 a > c > 0，所以1 >e >0
[2]离心率对椭圆形状的影响：
o
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
y
说明：椭圆位于直线
X=±a和y=±b所围成 的矩形之中。
o
x
二、对称性
想一想?
? 问题2 以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗? ? 同时以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗?
问题3 若点P(x,y)在椭圆上,点(-x,y)与椭圆 有什么关系? 点(x,-y)与椭圆有什么关系?
点(-x,-y)与椭圆又有什么关系?