椭圆及其标准方程1。

平面内 ，叫做椭圆。

叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。

2。

根据椭圆的定义可知：集合{}A MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a ,为常数。

当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段；当 时，集合P 为空集。

3。

焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。

焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。

其中c b a ,,满足关系为 。

练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a b ==y 轴上；⑶10,a b c +==例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程.1162522=+y x 116914422=+y x 112222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0,,22<=+C B A C By Ax例2 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。

当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。

轨迹是什么图形？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程..知识小结：1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程2、椭圆的标准方程有两种，注意区分3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法4、求椭圆标准方程的方法写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=.椭圆的简单几何性质1.范围方程中x 、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。

2.对称性复习关于x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标之间的关系： 点（x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为(x,－y)； 点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为(－x, y)； 点（x,y ）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；（1） 如果以－y 代y 方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x 的轴对称点P ’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称。

（2） 如果以－x 代x 方程方程不变，曲线关于y 轴对称。

（3） 如果同时以－x 代x 、以－y 代y ，方程不变，曲线关于原点对称。

椭圆关于x 轴，y 轴和原点都是对称的。

这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴] 椭圆的对称中心是什么？[原点] 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

3.顶点在椭圆的标准方程里， 令x=0,得y=±b 。

这说明了B 1(0,－b),B 2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点。

令y=0,得x=±a 。

这说明了A 1(－a,0),A 2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点。

因为x 轴，y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。

线段A 1A 2,B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

它们的长|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b (a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)4.离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ac，叫做椭圆的离心率。

因为a>c>0,所以0<e<1. 得出结论：(1)e 越接近1时，则c 越接近a ，从而b 越小，因此椭圆越扁； (2)e 越接近0时，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a ＝b 时，c ＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。

当e ＝1时，图形变成了一条线段。

5.例题例1求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,，填空：已知椭圆的方程是9x 2+25y 2=225,(1) 将其化为标准方程是_________________.(2) a=___,b=___,c=___.(3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e ＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______.例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6例3 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45，求点M 的轨迹.三、课堂练习：①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ⑵22936x y +=与221610x y +=②求适合下列条件的椭圆的标准方程.⑴经过点()(,P Q -⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P ⑶焦距是8，离心率等于0.8焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.课后思考：1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方？2、点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：x= 的距离的比是常数（a＞c＞0），求点M轨迹，并判断曲线的形状。

3、若过焦点F2作直线与AB垂直且与该椭圆相交于M、N两点，当△F1MN的面积为70时，求该椭圆的方程。

（二）题组训练: 题组一：1.在椭圆10042522=+y x 中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,______.焦点位于________轴上2.如果方程1my 4x 22=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ．题组二：求适合下列条件的椭圆的标准方程1.a=4,b=1,焦点在x 轴上.2.a=4,c=15,焦点在坐标轴上题组三：1.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P 满足1021=+PF PF ，则点P 的轨迹是 ，若点P 满足621=+PF PF ，则点P 的轨迹是 .2.P 为椭圆1162522=+y x 上一点,P 到一个焦点的距离为4,则P 到另一个焦点的距离为3.椭圆191622=+y x ,过焦点F 1的直线交椭圆于A,B 两点,则2ABF ∆的周长为题组四：1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.2.已知△ABC 的一边长6=BC ，周长为16，求顶点A 的轨迹方程.1．已知椭圆两个焦点1F （-2，0），F 2（2，0），并且经过点P )23,25(-，求它的标准方程.2．椭圆的两个焦点F 1（-8，0），F 2（8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，求此椭圆的标准方程.3．若B （-8，0），C （8，0）为ABC ∆的两个顶点，AC 和AB 两边上的中线和是30，求的重心G 的轨迹方程.椭圆 同步测试1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-52 D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ） A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ） A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A. 22 B. 2 C. 2 D. 1 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．41B ．22C ．42 D ． 219．若点P 在椭圆1222=+y x上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A. 2B. 1C.23 D. 21 11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （A ．25 B ．27 C ．3D ．413．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = 。

14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 。

15．直线y=x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 。

17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18、椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 20、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e=23，已知点P （0，23）到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程。

2.1．1椭圆及其标准方程1．椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102．椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3．已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ A ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m5．在方程22110064x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =366．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段7．1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是8．椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为9.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 .10.P 点在椭圆452x +202y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标是 .11.椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程.12.已知椭圆92x +42y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P 点坐标.13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25）1. 设定点()3,01-F ，()3,02F ，动点()y x P ,满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是 （ ）A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段或不存在D. 不存在 2. 2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为 （ ） A.112814422=+y x 或114412822=+y x B 14622=+y x C. 1323622=+y x 或1363222=+y x D. 16422=+y x 或14622=+yx3. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是A. 22B. 2C. 2D. 1 （ ）4. 若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是A. 41B. 21 C. 22 D. 23 （ ）5. 9. 点()1,a A 在椭圆12422=+y x 的内部，则a 的取值范围是 （ ） A. 2-＜a ＜2 B. a ＜2-或a ＞2C. 2-＜a ＜2D. 1-＜a ＜16. 11. 椭圆131222=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。