习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。

I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。

解：I表4–1 死亡赔付现值计算表年份 年内死亡人数赔付支出 折现因子 赔付支出现值 （1） （2） （3）=1000*(2)（4）（5）=(3)*(4)1 1 1000 103.1- 970.872 2 2000 203.1- 1885.193 3 3000 303.1- 2745.434 4 4000 403.1- 3553.95 5 5 5000 503.1-4313.04 合计 ---15000---13468.48根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。

解：II表4–2 死亡赔付现值计算表年份 年内死亡人数赔付支出 折现因子 赔付支出现值 （1） （2） （3）=1000*(2)（4）（5）=(3)*(4) 1 1000*40q =1.650 1650 103.1- 1601.94 2 1000*40|1q =1.809 1809 203.1- 1705.16 3 1000*40|2q =1.986 1986 303.1- 1817.47 41000*40|3q =2.1812181403.1-1937.795 1000*40|4q =2.3912391 503.1-2062.50 合计 ---10017---9124.86根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。

【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。

根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|1240240|11|3:40q p v q p v vq q v q v vq q v Ak k k ++=++=⨯=∑=+]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[32⨯-⨯-+⨯-+=00492793.0=（元）。

II 、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:40240|)1(221|3:401|3:402=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v AAk k k III 、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40=⨯A （元）【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。

假设)1051(1000x l x -=，计算趸缴纯保费。

解：趸缴纯保费为，kk k k q p A+=+-⨯⨯=∑502950)1(1|03:5008.1100000100000其中，5555505050kl l p k k-==+，kl l l q k k k k -=-=++++55150515050故，k k Ak k -⨯-⨯=∑=+-551555508.110000010000029)1(1|03:5070.20468)08.1/1(1)08.1/1(108.115510000030=--⨯⨯=（元）二、终身寿险【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。

根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，18853.0...40|646540|2340|12406440|140=⨯++⨯+⨯+⨯=⨯=∑=+q v q v q v q v q v A k k k （元）。

II 、单位赔付现值期望的方差为，00191979.0)()(2406440|)1(2240402=-⨯=-∑=+A q v A A k k kIII 、趸缴纯保费为，29.188********=⨯A （元）三、n 年定期生存寿险【例4.5】某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。

根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，342332.04020201|02:40=⨯=p v A （元）II 、单位赔付现值期望的方差为，0313891.040204020202=⨯⨯⨯q p vIII 、趸缴纯保费为，32.3423100001|02:40=⨯A （元）纯保费+风险附加费用=365.36)0213183.03423317.0(100))((100=+=+⨯R z E （元） 四、n 年定期两全保险【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。

根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，391722.01|02:401|02:40|02:40=+=A A A （元）II 、单位赔付现值期望的方差为，004261.0)()(2)()()(2121=-+=z E z E z Var z Var z VarIII 、趸缴纯保费为，39172210000|02:40=⨯A （元）六、延期寿险【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40-60岁死亡，赔付50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。

利用生命表93U 、利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。

解、这份保单可以分解为一份50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即，40756540407540756540654070000)(5000030000)(100000)(50000)(D M M M D M D M M D M M z E -+=+-+-=487.800895.939424432.3870000)7800.7213451.43(50000=⨯-+=（元）这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合，即，40756540407565407540404070000)(50000)(50000)(2000030000)(D M M M D M M D M M D M z E -+=-+-+=七、变额寿险【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元趸缴纯保费和方差，死亡年度末给付，年利率6%，参照生命表（U,93,1000000）:I 、终身寿险；II 、20年定期寿险；III 、20年定期两全保险；IV 、延期10年终身寿险；V 、延期10年的20年定期寿险；VI 、延期10年的20年定期两全保险。

解、I 、终身寿险：229574.051090.5311729.04505050=÷=÷=D M A028642.051090.53)(11729.04-773.6211225.6235/2//2250250505050=÷=-=D M DD DM DA II 、20年定期寿险：109218.01090.536149.05)/5-11729.04(/)(5070501|02:50==-=D M M A250270505070501|02:50/)(/)(D M M DD DM DM DA ---=047634.01090.53)6149.05)/5-11729.04((-773.621160.4193)/2-225.6235(2==III 、20年定期两全保险：351429.051090.5312374.69)/6149.05-11729.04(/)(50707050|02:50=+=+-=D D M M A 250270705050707050|02:50/)(/)(D D M M DD DD DM DM DA +--+-=011583.051090.53)12374.69)/6149.05-11729.04((-773.6211209.471)/260.4193-225.6235(2=++=IV 、延期10年终身寿险：182062.0090.539301.66/51/506050|10===D M A013763.01090.53)(9301.66/5-773.6211130.1094/2//2250260506050|10==-=D M DD DM DA V 、延期10年的20年定期寿险：127213.01090.532802.27)/5-9301.66(/)(5080601|02:50|10==-=D M M A250280605080601|02:50|10/)(/)(D M M DD DM DM DA ---=024048.01090.53)2802.27)/5-9301.66((-73.621118.522)/27-130.1094(2==VI 、延期10年的20年定期两全保险：211622.01090.534312.51)/52802.27-9301.66(/)(50808060|02:50|10=+=+-=D D M M A 250280806050808060|02:50|10/)(/)(D D M M DD DD DM DM DA +--+-==010144.01090.53)4312.51)/52802.27-9301.66((-773.621140.7625)/218.522-130.1094(2=++=第三节 连续型（死亡即刻赔付）寿险趸缴纯保费【例4.9】已知被保险人的寿命分布函数100)(xx F =，1000≤≤x ，假设05.0=δ，分别求40A 和40A D 。