12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
225213C.7136987
第二章：年金
练习题
1．证明 。
2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为%。计算购房首期付款额A。
解：
其中
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1）终身生存年金。
其中
若查90-93年生命表换算表则
5．某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。
若现有1700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。
解：保单1)精算式为
保单2)精算式为
求解得 ，即
14．设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 ，第2年的利率为 ，第3年的利率为 ，求该笔投资的原始金额。
5．确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利义贴现率6%。
6．设m＞1，按从大到小的次序排列 。
6．化简 ，并解释该式意义。
7.某人计划在第5年年末从银行取出17000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
8.某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为 ，计算V(2)。
9.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )
7.已知 ，其中 为保险人对1单位终身寿险按年收取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于。[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr（Ｚ≤）=，Z为标准正态随机变量。]
8. 。
9． 。
10．已知 。
11．已知x岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元， ，L是在保单签发时保险人的亏损随机变量。
3．已知 。
4．已知 。
5．已知L为(x)购买的保额为1元、年保费为 的完全离散型两全保险，在保单签发时的保险人亏损随机变量， ，计算Var(L)。
6．已知x 岁的人服从如下生存分布： (0≤x≤105)，年利率为6％。对(50)购买的保额1000元的完全离散型终身寿险，设L为此保单签发时的保险人亏损随机变量，且P(L≥0)=。求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。
2．设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=，试计算：
(1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。
(3)(1)与(2)的结果为何不同为什么
（1）法一：
查生命表 代入计算：
法二：
查换算表
（2）
解：
其中
6．在UDD假设下，试证：
(1) 。
(2) 。
（3） 。
7．试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解：
（2）
其中
（3）
其中
（4）
其中
8．试证：
(1)
(2) 。
(3) 。
(4) 。
9．很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3600元。试求数额R。
(1)求该保险的趸缴纯保费 。
(2)设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明 。
9．现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15000元；10年后死亡，给付金额为20000元。试求趸缴纯保费。
趸交纯保费为
其中
所以趸交纯保费为
10．年龄为40岁的人，以现金10000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额3000元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。
15.某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定 ,0≤x≤110。利息力δ=。Z表示保险人给付额的现值，则密度 等于（ ）
A.0.24B.0.27 C.D.
16.已知在每一年龄年UDD假设成立，表示式 ( )
A. B.
C. D.
解：
17.在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z,则Var(Z)=( )
A. B. C. D.
11.延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为 ,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）
.54C
第三章：生命表基础
练习题
1．给出生存函数 ，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
10．Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 ，
， ，求Y的方差。
11．某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
12．某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。
第一章：利息的基本概念
练 习 题
1．已知 ，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定 。
(2)假设 ，试确定 。
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
2.已知Pr［5＜T(60)≤6］=，Pr［T(60)＞5］=，求 。
3.已知 ， ，求 。
4.设某群体的初始人数为3000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
5.如果 ,0≤x≤100,求 =10000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（ ）。
3.已知 , , , 计算 。
4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。
5．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知 ，计算K。
7．如果 ，求10000元在第12年年末的积累值。、
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
9．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度 积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
13.给定 ， 。已知在每一年龄年UDD假设成立， 则 是（ ）
A.15．48 B.15.51 C.D.
14.给定 , , 利息强度 ，则 =（ ）
A.0.005B.0.010C.D.
15.对于个体（x）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次1元，给定： ,年金给付总额为S元（不计利息），则
解：
其中
查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据 带入计算即可，或者i=以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表 带入计算即可。
例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
8．考虑在被保险人死亡时的那个 年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完整年数，j是死亡那年存活的完整 年的时段数。
（3）
3.设 , , , 试计算：
（1） 。
（2） 。改为求
4．试证在UDD假设条件下：
(1) 。
(2) 。
5．(x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元， ，试求 。
6．已知， 。
7．现年30岁的人，付趸缴纯保费5000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。
6.已知20岁的生存人数为1000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则 为（ ）。
A.0.008B.
C.D.
第四章：人寿保险的精算现值
练 习 题