2018届高三文科数学讲义 极坐标和参数方程
一：极坐标 公式：cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，tan y
x
θ=（0x ≠）
（一）：自我训练：
1.将以下极坐标转化为直角坐标
(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛32π， （2⎪⎭
⎫ ⎝⎛324π，
2.由直角坐标（x.y ）转化为极坐标()θρ，
（1）()2-2-， （2）（4，0） （3）（0，4） 3.将直角坐标方程转化为极坐标方程
（1）直角坐标方程x+y+2=0转化为极坐标方程为：
（2）. 圆直角坐标方程122=+y x 转化为极坐标方程为：
4、将极坐标方程转化为直角坐标方程
（1）直线2)4cos(=-π
θρ的斜率为：
（2）直线4
π
θ=的直角坐标方程为：
（3）化极坐标方程2cos ρθ=为直角坐标方程为：
(4)圆的极坐标方程是 2=ρ，则其表示的曲线方程为
二 参数方程 参考公式：
1cos sin 22=+αα， αααcos sin 22sin ⋅=， ααα2
2s i n 211c o s 22c o s -=-=
直线的参数方程为：⎩⎨
⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x )(为参数t ，其中α为直线的倾斜角；
圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的参数方程为：⎩⎨
⎧+=+=θθ
sin cos r b y r a x )(为参数θ
椭圆)0(,122
22>>=+b a b y a x 的参数方程为：⎩⎨
⎧==θ
θsin cos b y a x )(为参数θ
一、直线方程的互化 1.直线 ⎩
⎨⎧==t y t
x 2)(为参数t 的普通方程为 ，斜率为：
练习：2方程⎩⎨⎧-=+=1
2
32
2t y t x (t 是参数)的普通方程是 .与x 轴交点的直角坐标是 3. 若直线12,
23.{
x t y t =-=+（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =________
二：曲线方程的互化
（1） 在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x （θ为参数），则圆C
的普通方程为______
变式：在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθ
sin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的
普通方程为__________圆心坐标为： 半径为：
（2）. 在直角坐标系中曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==θθ
sin 2cos 3y x （θ为参数），则曲线
C 的普通方程为_________
（二）大题训练
1. 在极坐标中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值。

2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，
半圆的极坐标方程为.
（1）求得参数方程；
（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.
3. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为.在极坐
xOy x C 2cos ,[0,]2π
ρθθ=∈C D C C
D :2l y +D xoy 13cos (t )23sin x t
y t
ì=+ïí=-+ïî为参数
标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以轴非
负半轴为极轴）中，直线l
(Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
4. 已知圆 C 1的参数方程为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C 2的极坐标方程为
(1)把圆C 1, C 2 的方程化为普通方程； (2) 求圆C 1,上的点到直线C 2的距离的最大值．
5.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩,（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
24)4
sin(=+π
θρ．
(1) 求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
(2) 设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值．
6. [2016高考新课标Ⅲ文数]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
x o y x sin(
)m,(m R).4
p q -=?
()sin x y α
αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为sin()4
ρθπ+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
7.已知曲线1
C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨
=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2
C 的极坐标方程为2sin ρθ=.
(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<).
8.在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的
极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛
⎫==-= ⎪⎝
⎭.
(I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中
点.已知直线PQ 的参数方程为()3312
x t a
t R b y t ⎧=+⎪
∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.
9.【2016新课标1文数】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．
在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为,其中满足tan =2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．
10.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为1(2x t
t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）
，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为
θθρsin 32cos 2+-=．
（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标（Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．
11.【2016高考新课标2文数】在直角坐标系x O y 中，圆C 的方程为
22(6)25x y ++=．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数）, l 与C 交于,A B
两点，
||AB l 的斜率．
12. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲
O cos 1sin x a t
y a t =⎧⎨=+⎩4cos θ0θα=0α0α
线C .
(1)写出C 的参数方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
直线参数方程中t 的集合意义考察：
13.直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3
π
，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的
长为
14.已知直线l 经过点P (1,1),倾斜角6π
α=，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积的值。

15.设直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=t
y t
x 22（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标
方程为ρ=θ
θ2
sin cos
8． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB ．
16.【2016广西桂林市、北海市、崇左市3月联合调研】已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面
直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线的倾斜角α的值．。