第二章 导数与微分
• 导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度， 即：函数的变化率。
• 微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上改变了 多少。
本章内容包括： • 两个概念——导数与微分； • 六个法则——导数的四则运算法则，复合函数求导法则，
反函数求导法则； • 若干导数应用问题。
第一节 导数的概念
y
f (x0 )

(x f ( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2

( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
y f (x)
T
M

x0
x
切线方程为 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
1
f ( x h) h
f ( x) lim C C h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h

lim cos( x
(
x0
)x

x]

0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
0
x
f ( x) 3 x 1,
y y 3 x 1
在 x 1处不可导.
h0

h) sin 2 2h

cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
x x0
共性： lim y x0 x
函数值的改变量 自变量的改变量
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
x x0
x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
y
x x0 ,割线MN就转化为切线MT
割线MN的斜率就转化为曲线在 M处的切线的斜率
o
y f (x)
N
CM

x0
T
xx
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
f(b)都存在，就说 f ( x)在闭区间a, b上可导.
5) 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
例:
设
函
数
f
(
x)

ax2

bx

c,
x0 ,
讨 论 在 点0的 可 导 性.
sin x,
x0
f(0)
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
例8 过M(3,8)做曲线y x2的切线,写出切线方程.
解 易见点M (3,8)不在曲线y x2上.
设曲线y x2的过M点的切线的切点为P( x0, x02 )
曲线在P点的切线的斜率为f ( x0 ) 2 x0
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
而 f ( x0 ) f ( x) xx0 . f ( x0 ) f ( x0 )
4) 单侧导数
左导数:
f( x0 )

lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 ) lim

g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
t0
t t
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
2.作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
质点运动的路程S是时间t的函数：S=S(t).从 时刻t到t+t时间段内，质点走过的路程为：
ΔS=S(t+Δt)-S(t) 在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为:
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的几何意义与物理意义
log a
(1
h) x

1
h0
h
x
x

1 x
lim
h0
log
a
(1

h
)
x h
x

1 x
log a
e.
即
(log a
x)

1 x log a
e.
(ln x) 1 . x
例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
x
x
x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在 . x
f ( x)在x 0处不可导.
例10
设函数
f
(x)


x2,
x 1,为了使函数f ( x)
ax b, x 1
v S S(t t) S(t)
t
t
平均速度 v与Δt的取值有关，一般不等于质点在时 刻t的速度v，但Δt的值愈小，v 愈接近于t时刻的速度
v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度:
v v(t) Lim S(t t) S(t)
t 0
t
3.曲线的切线问题
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0

lim
x 0
f (x0

x) x
f (x0 );
如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a) 及
在x 1处连续且可导，a, b应取什么值?
解 f (1) 1 f (1 0) lim x2 1 x1 f (1 0) lim(ax b) a b x1 若f ( x)在x 1连续,则a b 1
N
M 割线的极限位置——切线位置
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即

o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
切线的斜率k x02 8 x0 3
k

x02 8 x0 3

2x0 , 得到x0

2或x0
4
例8 过M(3,8)做曲线y x2的切线,写出切线方程.
(1) x0 2, 切点(2,4), f (2) 4, 切线方程为y - 4 4( x 2)
(2) x0 4, 切点(4,16), f (4) 8, 切线方程为y -16 8( 9
讨论函数
f (x)
x sin
1, x
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0