1 1+ x2
dx
⒃
d
(arc cot
x)
=
−1 1+ x2
dx
九、微分运算法则
⑴ d (u ± v) = du ± dv
⑵ d (cu) = cdu
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⑶ d (uv) = vdu + udv
十、基本积分公式
⑴ ∫ kdx = kx + c
⑷
d
⎛ ⎜⎝
u v
⎞ ⎟⎠
=
vdu − udv v2
(1) a2 − x2 x = a sin t (2) a2 + x2
【特殊角的三角函数值】
x = a tan t
(3) x2 − a2 x = a sec t
（1） sin 0 = 0 （2） sin π = 1 （3）sin π = 3 （4）sin π = 1 ） （5）sin π = 0
62
⑶ d (sin x) = cos xdx
⑷ d (cos x) = −sin xdx ⑸ d (tan x) = sec2 xdx ⑹ d (cot x) = − csc2 xdx
⑺ d (sec x) = sec x ⋅ tan xdx
⑻ d (csc x) = − csc x ⋅ cot xdx
1
（2）lim (1+ x)x = e x→0
（4） lim n n = 1 n→∞
（7） lim arc cot x = 0 x→∞
（5） lim arctan x = π
x→∞
2
（8） lim arc cot x = π x→−∞
（10） lim ex = ∞ x→+∞
（11） lim xx = 1 x→0+
2.二倍角公式
sin 2A = 2sin Acos A
tan
2
A
=
1
2 −
tan tan
A 2A
cos 2 A = cos2 A − sin2 A = 1− 2 sin2 A = 2 cos2 A −1
3.半角公式
sin A = 1− cos A
2
2
cos A = 1+ cos A
2
2
tan A = 1− cos A = sin A 2 1+ cos A 1+ cos A
=
an
cos
⎛ ⎜⎝
ax
+
b
+
n⋅
π 2
⎞ ⎟⎠
⎛ (6) ⎜⎝
1 ax + b
⎞(n) ⎟⎠
=
( −1)n
an ⋅n!
(ax + b)n+1
(7)
⎡⎣ln
( ax
+
b ) ⎤⎦ ( n )
=
( −1)n−1
an ⋅(n −1)! (ax + b)n
八、微分公式与微分运算法则
⑴d (c) = 0
( ) ⑵ d xμ = μ xμ−1dx
( ) ⑼ d ex = exdx
( ) ⑽ d ax = ax ln adx
⑾ d (ln x) = 1 dx
x
( ) ⑿ d
loga x
= 1 dx x ln a
⒀ d (arcsin x) = 1 dx ⒁ d (arccos x) = − 1 dx
1− x2
1− x2
⒂
d
(arctan
x)
=
9.商数关系
tan x = sin x cos x
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1− tan2 a
cos a =
2
1+ tan2 a
2
2 tan a
tan a =
2
1− tan2 a
2
sec2 x − ta n2 x = 1
csc2 x − cot2 x = 1
sec x ⋅ cos x = 1 cot x = cos x sin x
(
xμ
)
∫
f
(ln
x)⋅
1 x
dx
=
∫
f
(ln
x )d
(ln
x)
∫ f (ex ) ⋅ exdx = ∫ f (ex )d (ex )
∫
f
(ax
) ⋅ axdx
=
1 ln a
∫
f
(ax
)d
(ax
)
∫ f (sin x) ⋅ cos xdx = ∫ f (sin x)d (sin x)
∫ f (cos x) ⋅sin xdx = −∫ f (cos x)d (cos x)
（3）lim n a (a > o) = 1 n→∞
（6） lim arc tan x = − π
x→−∞
2
（9） lim ex = 0 x→−∞
三、下列常用等价无穷小关系（ x → 0 ）
sin x ∼ x
tan x ∼ x
arcsin x ∼ x
ln (1+ x) ∼ x ex −1 ∼ x
ax −1 ∼ x ln a
32
2
（1） cos 0 = 1 （2） cos π = 3 （3）cos π = 1 （4）cos π = 0 ） （5）cosπ = −1
62
32
2
（1） tan 0 = 0 （2） tan π = 3 （3）tan π = 3 （4）tan π 不存在 （5）tanπ = 0
63
3
2
（1） cot 0 不存在 （2） cot π = 3 （3） cot π = 3 （4） cot π = 0 （5） cot π 不存
cot A = 1+ cos A = sin A 2 1− cos A 1− cos A
4.和差化积公式
sin a + sin b = 2sin a + b ⋅ cos a − b
2
2
cos a + cos b = 2 cos a + b ⋅ cos a − b
2
2
tan a + tan b = sin (a + b)
⑾ (ln x)′ = 1
x
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( ) ⑿
loga x
′=
1 x ln a
⒀ (arcsin x)′ = 1
1− x2
⒁ (arccos x)′ = − 1
1− x2
( ) ( ) ⒂
(arctan
x )′
=
1 1+ x2
⒃ (arc cot
x )′
=
−1 1+ x2
⒄
x ′ =1⒅
∫ ∫ ⑵ xμdx = xμ+1 + c ⑶ dx = ln x + c
μ +1
x
∫⑷ axdx = ax + c
ln a
∫⑸ exdx = ex + c
⑹ ∫ cos xdx = sin x + c
⑺ ∫ sin xdx = − cos x + c
⑼
∫
1 sin 2
x
=
∫ csc2
xdx
=
− cot
十二、补充下面几个积分公式
∫ tan xdx = − ln cos x + c
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + c
∫ a2
1 +
x2
dx
=
1 a
arctan
x a
+
c
∫ 1 dx = arcsin x + c
a2 − x2
a
∫ cot xdx = ln sin x + c
cos a ⋅ cos b
sin a − sin b = 2 cos a + b ⋅sin a − b
2
2
cos a − cos b = −2sin a + b ⋅sin a − b
2
2
5.积化和差公式
sin
a
sin
b
=
−
1 2
பைடு நூலகம்⎡⎣cos
(a
+
b
)
−
cos
(
a
−
b
)⎤⎦
sin
a
cos
b
=
1 2
⎡⎣sin
⑷ (cos x)′ = − sin x ⑸ ( tan x)′ = sec2 x
⑹ (cot x)′ = − csc2 x
⑺ (sec x)′ = sec x ⋅ tan x
⑻ (csc x)′ = − csc x ⋅ cot x
( ) ⑼ ex ′ = ex
( ) ⑽ ax ′ = ax ln a
6
33
2
在
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十五、三角函数公式
1.两角和公式
sin( A + B) = sin A cos B + cos Asin B
sin( A − B) = sin Acos B − cos Asin B
cos( A + B) = cos Acos B − sin Asin B
tan( A + B) = tan A + tan B 1− tan A tan B
1 1−
x2
dx
=