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三 平面与圆锥面的截线
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1．理解圆锥面的概念． 2．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况．
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2
由面积关系，得 OH= OF ?OP = 2 6 .
PF
3
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已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过 CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角 的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
∴CD⊥平面 VAB， ∴平面 CDE⊥平面 VAB，即平面 VAB为截面 CDE 的轴 面，
∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为
π .
4
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面
CDE 与圆锥的截线为一抛物线． 金品质?高追求 我们让你更放心！
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5．用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是 ______、________.
1．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α
2．(1)β＞α (2)β＝α (3)β＜α 金品质?高追求 我们让你更放心！
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研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面 π与圆锥的交线．
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1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°， 则截面所截得的截线是( A )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为 30°，则截线是( B )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
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解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥 的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、 F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.
在截口上任取一点P，连接PF 1、PF 2.过点P和圆锥的顶 点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2 ，则PF 1＝PQ1， PF2＝PQ2，所以|PF 1－PF 2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.
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解析：设⊙O 的半径为 R，母线 VA=l，则侧面展开图的
中心角为 2πR = 2 ?，∴圆锥的半顶角 ? = π .
l
4
连接 OE.∵O、E 分别是 AB、VB 的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE=∠AVO= π . 4
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长， 因此Q1Q2的长为定值．
由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一 点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为 常数．
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◆数学?选修4-1?(配人教A版)◆ 如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB
(1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交． (2)________，l与AB不相交． (3)________，l与BA的延长线、AC都相交． 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹 角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任 取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 (1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆． (2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线． (3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线．
过点 O 作 OH⊥PF ，垂足为 H，则 OH⊥平面 PAC，故 OH 的长为点 O 到平面 PAC 的距离．
在 Rt△ACB中，AC=PA=4，BC= 2 PB=4 2 ，从而
AB=4 3 ，OP=2. 在 Rt△POF 中，
OF= 1 BC=2 2 ，OP=2，PF = 3 PA=2 3 ，
2
又 AD= 3 PA=2 3 ，DE= 1 PB=2，在△ADE 中，由余弦
2
2
定理，得 cos∠ADE=-
3 .
3
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(2)取 AC 的中点 F，连接 PF 、OF，则 AC⊥平面 POF ， 从而平面 PAC⊥平面 POF .
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1．如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α,
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β
???0
?
?
?
π 2
???，则：
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是圆锥的轴截面，已知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4. (1)求二面角A－PC－B的余弦值． (2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离．
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解析：(1)∵∠APC=60?，∴△APC 为等边三角形． 如图所示，分别取 PC、BC 的中点 D、E，连接 AD、DE， 则 AD⊥PC，DE∥PB. 又 PB⊥PC，∴DE⊥PC. 故∠ADE 为二面角 A-PC-B 的平面角． 连接 AE，在 Rt△ACE 中，求得 AE2=24.
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3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴
的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为
(C)
3
4
A.
B.
5
5
C. 1
D. 2
2
2
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4．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通 过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、 ________和________．