贝特朗奇论
2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆内 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。

解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。

对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,
P = CD 弧长圆周长 = 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB
的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。

解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。

若 A B 的中 点
落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积
= 14 。

2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析
同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。

解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。

三种答案对于各自的假定都是正确的。

这样的
解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。

其实弊病出在概率定义本身。

我们先看看有关概率的三个定义: 概率的统计定义: 在条件相同的n 次试验中事件 A 出现m 次, 如果加大n 时, A 的频率m
n逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。

概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验，成为古典试验。

对于古典试验中的事件A，它的概率定义
为：P(A)= m
n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。

m表示事件A包含的试验基本结果数。

这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω内的某一点,且出现于每一点的可能性相等,又区域A包含于区域Ω中,那么试验结果出现于区域A的概率,即事件A R 的概率P( A ) =区域A的测度/区域Ω的测度。

概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的, 仅能以A的频率作为P( A) 的近似值。

然而n要多大,准确到什么程度,都没有确切的说明,在概率的古典定义中,不需要试验即可直接根据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性, 因为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的, 而且每个试验结果出现的可能性相等。

如果试验的全部可能结果是无限的,古典定义就不适用了。

概率的几何定义虽然不要求试验结果有限,但同样强调
试验结果的等可能性。

可是怎样才算等可能性? 这都无从回答。

即便古典定义的提出者拉普拉斯本人对此也是含糊其词: “ 如果找不到可能性大小不等的任何理由, 就可以看作是等可能的。

” 当然这种说法欠妥, 并且招致许多矛盾。

如果进一步分析,所谓“等可能性” 就是“等概率”。

这无异于用概率去定义概率, 逻辑上出现了循环。

正是因为这种矛盾的存在, 人们希望找一个一般的概型, 以便更广泛更确切地描述随机现象, 通过对随机现象的数学本质的研究和对上述三个定义的分析知道了概率具有一些基本性质并由此得到概率的公理化定义。