......
1
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园 ......
花瓶 2
探索研究
1.回顾椭圆的定义？
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 ｜F1F2｜）的点轨迹叫做椭圆。
Y
O
F1 c, 0
Mx, y
F2 c, 0 X
思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
......
6
2、双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
符号表示：
||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|） F1 o F2
；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 双曲线的左支 ；
若2a=2c，动点MM的轨迹 以F1、F2为端点的两条射线 ；
若2a>F21c，动点MF的2 轨迹不存在
F1
.
F2
若2a=0，动点M的是轨迹__线__段__F_1_F_2_的M__垂__直__平__分__线___.
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小 .
y
y
图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
方程 焦点 a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2 (c a, c b, a与b的大小不确定)
......
14
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
......
∴可设双曲线方程为:
......
10
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
焦点在哪一个轴上。
......
17
1.已知下列双曲线的方程：
y2 x2 (1)
1
则a= 3
b= 4
c= 5 焦点坐标为(0,-5),(0,5)
9 16
(2)x2 3y2 3 则a= 3 b= 1 c= 2 焦点坐标为(-2,0),(2,0)
......
18
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
......
16
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
判断：x2
16
y2 9
1与
y2 9xLeabharlann 161的焦点位置？
结论：看 x2 , y 2前的系数，哪一个为正，则
即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么？
......
3
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
......
4
......
5
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 .
15
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的关 系
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大......于0 0<2a<2c
7
【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 双曲线的右支
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
......
y
M
o
12
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
焦点在y轴上 y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)并且c2 =a2 b2
......
13
双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
......
11
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2)x2 a2y2 a2(c2 a2)
9 16
......
19
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
......
8
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线? (1) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 4
方程表示的曲线是双曲线
(2) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 5
方程表示的曲线是双曲线的右支
(3) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。