1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
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练习1：写出以下曲线的焦点坐标及a,b：
(1) x2 y2 1和x2 15 y2 15 25 9
-(-byx22)22= 1
(a>0,b>0)
M
叫做双曲线的标准方程 y-x
yxy
y F2
y x
它表示的双曲线焦点在y轴上， x Fy 1 焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2 M
oo
F1
Fxy2 x
x LUZHOU PEOPLE’S HOSPITAL
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
常数的点的轨迹叫做椭圆。
思考
F1
F2
差 平面内与两定点F1，F2的距离的 为非
零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？
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思 考：
平面内与两 定点F1，F2的 距离的差为 非零常数的 点的轨迹是 什么？
定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。
F1
M
o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
移项平方整理得 cx -a2=±a (x-c)2+y2
再次平方，得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) 由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,故c2-a2>0,
令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得
：
x2 a2
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双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
焦点(4,0), a 5, b 3 焦点(4,0), a 15, b 1
(2) x2 y2 1和 y2 x2 1
43
34
焦点(1,0), a 2, b 3 焦点(0, 7 ), a 3, b 2
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练习2. 直接写出适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a=4，b=3，焦点在x轴上； x 2 y2 1
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
y2 x2 x a2 b2 1
F(0, ± c)
说明：
（1）双曲线的标准方程用减号 “-” 连接 ； （2）双曲线方程中a>0,b>0,但a不一定大于b
（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；
（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；
则|MF1|=|MF2|
此时点的轨迹是线段的垂直平
分线。
F1
F2
（1）2a<2c ；
M
注意 （2）2a >0 ；
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试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2|
|F1F2| =2c (a,c为正常数)
（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB>0)
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位置 图形
方程 共性
焦点在X轴上
y
M
F1 O F2 x
焦点在Y轴上
y M
F2
x
O
F1
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
1、两种方程中，总有a>0 b>0 2、 a、 b、c 满足关系式a2+b2=c2 3、二次项系数为正,焦点在相应的轴上
-
y2 b2
=1
(a>0,b>0)
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二、双曲线的标准方程：
y
M
方程
x2 a2
-
y2 b2
=1
(a>0,b>0)
y
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在x轴上， x F1
o F2 x
焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
方程
xy22 a2
这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的
焦距.
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平面内与两个定点F1，F2的距 离之差的绝对值为常数(小于︱
F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。 F1 (|F1F2|记为2c； 常数记为 22a.)定义中这个常数2a能否为0？
AO1 A2 F2
M
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小 .
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二、双曲线的标准方程：
y
如且y)图原为建点双立O曲与坐线线标上段系任F，一1F2使点的x,中轴双点经曲重过线合F焦1。、距F设为2，M(x并,
2c(c>0),则F1(－c,0), F2(c,0)
P= {M ||MF1 | - | MF2| = +_ 2a }
=2a,
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 双曲线的右支
；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 双曲线的左支 ；
当a=c时，动点M的轨M迹 以F1、F2为端点的两条射线 ；
当a>c时，F动1 点M的轨F迹2 不存在 . F1
F2
当a=0时，动点M的是轨迹_线__段__F_1_F_2_的__M垂__直__平__分__线____.
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一、复习与问题
1，椭圆的第一定义是什么？
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常
数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
M
M
F1
F2
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定义
图 象
标准 方程 焦点 a,b,c的关 系
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
··· y M
F1 o F2 x
y
·F2
·o
x
F1
M
x2 y2 a2 b2 1
（a>b>0）
(－c,0), (c,0)
y2 x2 a2 b2 1
（a>b>0）
(0, －c) ,(0, c)
a2=b2+c2
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一、复习与问题
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于