【市级联考】福建省泉州市2018届九年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列根式是最简二次根式的是（）A B C D2．下列事件中是必然发生的事件是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180B．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖C．掷一枚硬币，正面朝上D．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝﹣2 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝6 4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为( )A．1 B．12C．14D．155．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，某家快递公司，今年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为8.5万件和10万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．8.5（1+2x）=10B．8.5（1+x）=10C．8.5（1+x）2=10D．8.5+8.5（1+x）+8.5（1+x）2=106．一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）A ． BC ．2D ．17．如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知0234a b c==≠，a+2b=16，则c 的值为（ ） A ．1287 B ．645C ．8D ．29．如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．12B C D10．设，M 与N 的关系为（ ） A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M=ND ．M=±N二、填空题11x 的取值范围是 ．12．如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 两边中线，则EDC ABCS S=_____．13．已知某斜面的坡度为，那么这个斜面的坡角等于_____度．14．如图，在平面直角坐标系中，已知A （1.5，0），D （4.5，0），△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若DE ＝7.5，则AB ＝_____．15．若一元二次方程ax 2+bx+c=0中，4a ﹣2b+c=0．则此方程必有一根为_____． 16．如图，等腰△ABC 中，CA=CB=6，D 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAE 与△CBF ，连接EF ，则△CEF 面积的最小值为_____．三、解答题 17|4﹣|+1）0 18．解方程：x （x ﹣5）+6=019．先化简，再求值：((5)a a a a +-，其中1a =.20．中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． （2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．21．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.22．某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：设参加旅游的员工人数为x 人．（1）当25＜x ＜40时，人均费用为 元，当x≥40时，人均费用为 元； （2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？23．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，，AB=c=2，那么sin a A =sin bB=2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着sin aA=sin bB =sin c C的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： （1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“sin a A =sin bB=sin cC”的关系是否成立？答： （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“sin a A =sin bB =sin c C”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．24．如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=30°． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．25．如图，已知直线y=k 1x+b 与x 轴、y 轴相交于C 、D 两点，与y=2k x交于A （m ，2）、B （﹣2，n ）两点． （1）求m+n 的值；（2）连接OA 、OB ，若tan ∠AOD+tan ∠BOC=1． ①当不等式k 1x+b ＞2k x时，请结合图象求x 的取值范围； ②设点E 在y 轴上，且满足∠AEO+∠AOD=45°，求点E 的坐标．参考答案1．D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．【详解】解：A，故此选项错误；B，故此选项错误；C，故此选项错误；2D故选D．【点睛】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件.2．A【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故此选项正确；B、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖，是随机事件，故此选项错误；C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；D、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故此选项错误；故选A．【点睛】此题主要考查了概率，以及随机事件和必然事件，关键是掌握①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．3．C【分析】按照配方法的步骤：移项，配方（方程两边都加上4），即可得出选项．【详解】解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝﹣2+4，（x﹣2）2＝2，故选：C．【点睛】本题主要考查配方法，掌握完全平方公式是解题的关键．4．B【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12，故选B．【点睛】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．5．C【分析】利用7月份完成投递的快递总件数=5月份完成投递的快递总件数×（1+x）2，进而得出等式求出答案．【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得8.5（1+x）2=10，故选C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题关键． 6．B 【分析】首先根据折叠的性质求出DA′、CA ′和DC ′的长度，进而求出线段DG 的长度． 【详解】解：∵AB=3，AD=2， ∴DA′=2，CA′=1， ∴DC′=1， ∵∠D=45°，∴， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出DC ′的长度． 7．C 【解析】试题解析：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误； 故选C ．点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似. 两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似. 三组边对应成比例，两个三角形相似. 8．C 【分析】设比值为k ，用k 表示出a 、b 、c ，然后代入等式求出k 的值，再求解即可． 【详解】 解：设234a b c===k （k≠0），则a=2k ，b=3k ，c=4k ， ∵a+2b=16， ∴2k+6k=16， 解得k=2， ∴c=4×2=8． 故选C ． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k 法”求解更简便． 9．B 【分析】连接CD ，求出CD ⊥AB ，根据勾股定理求出AC ，在Rt △ADC 中，根据锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：连接CD （如图所示），设小正方形的边长为1，∵，∠DBC=∠DCB=45°， ∴CD AB ⊥，在Rt ADC 中，AC =，CD =，则sin5CD A AC ===．故选B ． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角形． 10．C 【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得． 【详解】解：∵，=1，∴M=N，故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．11．x3≥．【解析】x30x3-≥⇒≥．12．14【分析】利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题；【详解】∵AE=EC，BD=CD，∴DE∥AB，DE=12AB，∴△EDC∽△ABC ，∴EDCABCSS＝21()4EDAB=，故答案是：14．【点睛】考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理．13．30°【解析】分析：画出示意图，利用坡角的定义直接得出求出∠A即可．详解：如图所示：∵某坡面的坡比为1:，∴tan A则它的坡角是：30∘.故答案为30.点睛：本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握特殊角度的三角函数值，常见的特殊角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据特殊角度的三角函数值进行求解即可.14．2.5．【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得到位似比为13，然后根据相似的性质计算AB的长．【详解】解：∵A（1.5，0），D（4.5，0），∴OAOD=1.54.5=13，∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，∴ABDE=OAOD=13,∴AB=13DE=13×7.5=2.5．故答案为2.5．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．15．﹣2．【分析】根据一元二次方程的解的定义进行解答．【详解】解：当x=-2时，4a-2b+c=0，则此方程必有一根为-2．故答案是：-2．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16 【分析】作CH ⊥AB 于H ．首先证明△ECF 是顶角为120°的等腰三角形，根据此线段最短可知CD 的最小值为3，延长即可解决问题.【详解】解：作CH ⊥AB 于H ．∵CA=CB ，CH ⊥AB ，∴∴cos ∠CAH=AH AC ∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ACB=120°，CH=12AC=3， 由翻折不变性可知：CD=CE=CF ，∠ACE=∠ACD ，∠BCD=∠BCF ，∴∠ECF=360°-120°-120°=120°，∴△ECF 是顶角为120°的等腰三角形，∴当CE 的长最短时，△ECF 的面积最小，根据垂线段最短可知，当CD 与CH 重合时，EC=CD=CH=3，∴S △ECF =12××32故答案为 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．5【分析】先化简二次根式、取绝对值符号、计算零指数幂，再去括号、合并同类二次根式即可得．【详解】解：原式÷3﹣（﹣4）+1+4+1=5．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、绝对值性质、零指数幂．18．x=2或x=3【分析】将方程整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵x （x ﹣5）+6=0，∴x 2﹣5x+6=0，则（x ﹣2）（x ﹣3）=0，∴x ﹣2=0或x ﹣3=0，解得：x=2或x=3．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．【分析】先用平方差公式，再合并同类项即可化简，代入a的值即可得答案. 【详解】（a+a（5﹣a）=a2﹣5+5a﹣a2=5a﹣5，当时，原式=5）﹣﹣【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握平方差公式是解题关键.20．（1）72；补图见解析；（2）1 6 .【分析】（1）由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心距度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．【详解】（1）360°（1﹣40%﹣25%﹣15%）=72°；故答案为72；全年级总人数为45÷15%=300（人），“良好”的人数为300×40%=120（人），将条形统计图补充完整，如图所示：（2）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）=21= 126．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．21．（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用. 22．（1）1000﹣20（x ﹣25）；700．（2）30名【分析】（1）求出当人均旅游费为700元时的员工人数，再根据给定的收费标准即可求出结论； （2）由25×1000＜27000＜40×700可得出25＜x ＜40，由总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）∵25+（1000﹣700）÷20=40（人），∴当25＜x ＜40时，人均费用为[1000﹣20（x ﹣25）]元，当x≥40时，人均费用为700元．（2）∵25×1000＜27000＜40×700，∴25＜x ＜40．由题意得：x[1000﹣20（x ﹣25）]=27000，整理得：x 2﹣75x+1350=0，解得：x 1=30，x 2=45（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．（1）成立；（2）见解析【分析】（1）因为sin a A =c ，sin b B =c ，sin c C=c ，推出“sin a A =sin b B =sin c C ”成立， （2）作CD ⊥AB 于D ．在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，可得sinA=b CD ，sinB=a CD ，推出sin a A =ab CD ，sin b B =ab CD ，可得sin a A =sin b B，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证sin b B =sin c C，即可解决问题. 【详解】（1）∵sin a A =c ，sin b B =c ，sin c C=c ， ∴“sin a A =sin b B =sin c C ”成立， 故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°， ∴sinA=b CD ，sinB=aCD ， ∴sin a A =ab CD ，sin b B =ab CD， ∴sin a A =sin b B ， 同理，作AH ⊥BC 于H ，可证sin b B =sin c C，∴sin a A =sin b B =sin c C． 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考创新题目．24．（1）证明见解析（2）2122y x =+0＜x ＜）（3）AE=4﹣23． 【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD ∽△DCE ；（2）如图1，作高AF ，根据直角三角形30°的性质求AF 的长，根据勾股定理求BF 的长，则可得BC 的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE 时；②当AE=ED 时；③当AD=AE 时，讨论即可得到答案．【详解】解：（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB ，∴∠EDC=∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A 作AF ⊥BC 于F ，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=12AB=1，∴∴则﹣x ，EC=2﹣y ，∵△ABD ∽△DCE ，∴AB DC BD CE=，∴2x =，化简得：2122y x =+（0＜x ＜；（3）当AD=DE 时，如图2，由（1）可知：此时△ABD ∽△DCE ，则AB=CD ，即x ，2，代入2122y x =-+，解得：y=4﹣AE=4﹣，当AE=ED 时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=12EC ，即y=12（2﹣y ）， 解得：y=23，即AE=23， 当AD=AE 时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE 是等腰三角形时，AE=4﹣或23．【点睛】本题考查1、三角形相似的性质和判定，2、等腰三角形的性质，3、直角三角形30°角的性质．25．(1)m+n=0;(2) ①x ＞1或﹣2＜x ＜0；②（0，5）或（0，﹣1）．【分析】（1）利用点A ，B 在反比例函数上，代入反比例函数解析式中即可得出结论； （2）①先表示出tan ∠AOD 和tan ∠BOC ，进而用tan ∠AOD+tan ∠BOC=1，建立方程借助m+n=0，求出m ，n 即可得出点A ，B 坐标，最后利用图象即可得出结论；②分两种情况，Ⅰ、当点E 在AM 上方时，先求出再判断出△AOM ∽△E 1ON ，即可求出m 的值．最后利用勾股定理求出OE 1即可得出结论；Ⅱ、当点E 在AM 下方时，利用对称性即可得出结论.【详解】解：∵点A （m ，2），B （﹣2，n ）在反比例函数y=2k x， ∴k 2=2m ，k 2=﹣2n ，∴2m+2n=0，∴m+n=0；（2）①如图1，过点A 作AM ⊥y 轴于M ，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，在Rt △AOM 中，tan ∠AOM=AM OM =m 2，在Rt △BOF 中，tan ∠BOF=BF OF =n 2-=﹣n 2， ∵tan ∠AOD+tan ∠BOC=1， ∴m 2+（﹣n 2）=1， ∴m ﹣n=2，∵m+n=0，∴m=1，n=﹣1，∴A （1，2），B （﹣2，﹣1），∵k 1x+b ＞2k x， ∴y 1＞y 2， ∴当x ＞1或﹣2＜x ＜0时，k 1x+b ＞2k x ； ②如图2，Ⅰ、当点E 在AM 上方时，过点E 1作E 1N ⊥OA 交OA 的延长线于N ，由题意知，∠E 1AN=45°， ∴∠E 1AN=∠AE 1N=45°， ∴E 1N=AN ，在Rt △OAM 中，AM=1，OM=2，∴设E 1N=AN=m ，∴，∵∠AOM=∠E 1ON ，∠AMO=∠E 1NO ，∴△AOM ∽△E 1ON ， ∴1AM OM E N ON=，∴1m，∴E1，E1M=3，∴OE1=5，∴E1（0，5）；Ⅱ、当点E在AM下方时，由对称性得，E2M=E1M=3，∴OE2=1，∴E2（0，﹣1），综合可知，点E的坐标为（0，5）或（0，﹣1）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称的性质，构造出相似三角形和直角三角形是解本题的关键．。