相靠最近的距离
4
rmin
R sin
作FD//AB,构成直角三角形
DEF，故有：sin
vBsin
vAsin
，
v
在三角形BEF中,由余弦定理可得：v
vA2
vB2
2vAvBcos(
)
rmin
vBsin
vAsin
R。
vA2
vB2
2vAvBcos(
)
方法二：
两船在任一时刻
t的位置矢量分别为：
rA
( vAt cos
习题1
1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r =
R(cosωt i
sinωt
j )
其中
为常量．求：（1）质点的轨道；
(2)速度和速率。
解：(1)
由r = R(cosωt i
sinωt j )，知：x
R cos
t
，y
R sin
t
消去t可得轨道方程：x2
y2
R2
∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为
vx0
v0cos600→x v0cos600t
1g cos600t2
（1）
2
vy0v0sin 600
→y
v0sin 600t
1
g sin 600t2
（2）
2
2v0
第二次落地时：
y
0，代入（2）式得：t
，
g
所以：x v0cos600t
1g cos600t2
2v02
2
2gh
4h 80cm。
2
g
g
1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球
[(2 t)2
22]
1
2
2
t2
1
∴at
dv
2t
1
，利用a2
at2
an2
有：
an
a2
at2
2
1
。
dt
t2
t2
1-4．一升降机以加速度
a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，
升降机的天花板与底板相距为
d，
求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为
表示物体落地时
y方向的距离，
0
5
t1
v dt表示物体在t1时间内走过的几何路程，
0
B
dr抛出点到落地点的位移，
A
B
dr抛出点到落地点位移的大小，
A
B
dr抛出点到落地点位移的大小。
A
习题2
2-1
质量为16kg的质点在xOy平面内运动， 受一恒力作用， 力的分量为fx
6N，fy
7N，当t 0
时，x
y
0，vx
R的圆；
（2）由v
d r
，有速度：v
R sin
t i
Rcos
t j
dt
1
而v
v，有速率：v
[(
Rsin
t )2
(
R cos t)2]
2
R。
1-2
．已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r
4t
2
i
(3 2t ) j
，式中r的单位为
mt
的单位为
s
t
0
t
，
。求：
（1）质点的轨道； （2）从
t
0
到
t
1
和
1
秒两时刻的速度。
)i
(vBtsin
)j
rB
( R vBt cos )i
(vBtsin )j
r rB-rA
[ R
(vBcos
vAcos
)t]i[( vBsin
vAsin
)t]j
任一时刻两船的距离为：
r
[ R (vBcos
vAcos
)t]2
[( vBsin
vAsin
)t ]2
令：dr (t )
0
dt
t
vBcos
vAcos
j方向的，则利用
F
4 i
24t2j，将t
1s代入有F 4i
24 j
4 et24 en，
∴Fn
24N。
6
2-3．如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其
轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
解：分别对A，B进行受力分析，可知：
mAgTmAaA
2T
mBaB
aB
1aA
2
4g
则可计算得到：aA
。
5
2-4．如图，用质量为m1的板车运载一质量为
m2的
木箱，车板与箱底间的
摩擦系数为
，车与路面间的滚动摩擦可不计，
计
算拉车的力
F为多少
才能保证木箱不致滑动？
2m / s，vy
0。当t
2s时，求：
(1)
质点的位矢；
(2)
质点的速度。
解：由
ax
fx
6
3
2
fy
7
m / s
2
m
，有：ax
m / s
，ay
m
16
16
8
（1）vx
vx0
2
axdt
2
3
5
0
2
m / s，
8
4
2
7
7m / s。
vy
vy0
aydt
2
0
16
8
于是质点在
2s时的速度：v
5i
7j
m / s
4
8
（2）r
秒的位移；（3）
解：（1）由r
4t2i
(3
2t) j
，可知x
4t2
，y
3
2 t
消去t得轨道方程为：
x
( y 3)2，∴质点的轨道为抛物线。
（2）由v
d r
，有速度：
v
8 t i
2 j
dt
1
1
t 0
从
到
秒的位移为：
r
v d t
(8 t i
2 j ) d t 4 i
2 j
t 1
0
0
（3）t
0和t
1
秒两时刻的速度为：
h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速
运动，并求其速度
v2.
证明：设人向路灯行走，
t时刻人影中头的坐标为
x1，足的坐标为
x2，
由相似三角形关系可得：
x1
x2
h2，
h1
x1
h1
h1
∴x1
x2
h2
h1
O
h2
两边对时间求导有：
d x1
h1
d x2，考虑到：d x2
v1，
（1）小球的运动方程；
y
（2）小球在落地之前的轨迹方程；
h
v0
（3）落地前瞬时小球的
d r
，d v
，d v。
d t
d t
d t
解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：
O
x
1g t2
1
x v0t，y h
，∴r
v0t i
(h
g t2) j；
2
2
gx2
（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：yh（为抛物线方程） ；
和vB匀速直线行驶，它们
会不会相碰?若不相碰， 求两船相靠最近的距离．
图
中 和 为已知。
答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系
中船A是静止的，而船B
的速度v vBvA。
v是船B相对于船A的速度,从船B作一
条平行于v方向的直线
BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.
由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船
0
解得t
1s，
dt
x1
x1x0
( 2 4 2) 2 2m
x
3
x
x
1
(243232)(242)
8m
3
x
x1
x2
10m。
1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度
h 20cm，斜面对水
平的倾角
30
，问它第二次碰到斜面的位
置距原来的下落点多
远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，
碰撞时
人射角等于反射角)。
解：小球落地时速度为v02gh，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，
?已知现在
赤道上物体的向心加速度约为
3.4cm / s2，设赤道上重力加速度为
9.80m/s2。
解：由向心力公式：
F向
m
2R，
赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：
F向
mg，而现在赤道上物体的向心力为：
F '向
ma
∴
mg
g
980
17
ma
a
16.98
0
3.4
1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，
初速为v0，并且v0与水平面的夹角为
d t
h1
h2
d t
d t
知人影中头的速度：
v影
d x2
h1
v1（常数）。
d t
h1
h2
1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为