第8章真空中的静电场8-1把某一电荷分成q 与Q-q 两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大库仑斥力，则Q 与q 有什么关系?8-2在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q 、2q 、一4q 和2q ，它的正中放着一个单位正电荷．求这个电荷受力的大小和方向.解各点电荷在正方形中心产生的电场方向如图8-2所示，它们的大小为方向如图8-2所示，则在正方形中心处的场强为E 的方向指向-4q 。
该处单位正电荷的受力就等于该点的电场强度E 。
8-3两根无限长的均匀带电直线相互平行，相距为2a ，线电荷密度分别为λ+和λ-，求每单位长度的带电直线所受的作用力.解设带电直线1的线电荷密度为λ+，带电直线2的线电荷密度为λ-。
可得带电直线1在带电直线2处产生的场强为在带电直线2上取电荷dq ，由场强的定义得该电荷元受的作用力为带电直线1对带电直线2单位长度上的电荷的作用力为同理，带电直线2对带电直线1单位长度上的电荷的作用力为可见，两带电直线相互吸引。
8-4—无限大带电平面，带有密度为σ的面电荷，如图所示.试证明：在离开平面为x 处一点的场强有一半是由图中半径为x 3的圆内电荷产生的.解带电圆圆在轴线上的场强为8-5(1)点电荷q 位于边长为a 的正立方体的中心，通过此立方体的每一面的电通量各是多少?(2)若点电荷移至正立方休的一个顶点上．那么通过每个面的电通量又各是多少?解(1)点电荷q 位于正立方体的中心，正立方体的六个面对该电荷来说都是等同的。
因此通过每个面的电通量相等，且等于总电通量的1／6。
对正立方体的某一面，其电通量为(2)当点电荷移至正立方体的一个顶点上时，设想以此顶点为中心，作边长为2a 且与原边平行的大正方体，如图8—5所示。
与(1)相同，这个大正方体的每个面上的电通量都相等，且均等于06/εq 。
对原正方体而言，只有交于A 点的三个面上有电场线穿过，每个面的面积是大正方体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也是大正方体一个面的电通量的1/4，即024/εq ，原正方体的其他不A 点相交的三个面上的电通量均为零。
8-6实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，E 垂直于地面向下，大小约为100N ／C ；在离地面1.5km 高的地方，E 也是垂直于地面向下，大小约为25N ／C.(1)试计算从地面到此高度的大气中的平均电荷体密度；(2)如果地球上的电荷全部分布在表面，求地面上的电荷面密度.解(1)设平均电荷体密度为ρ，在靠近地表面附近取底面积为S ∆，高为h 高斯柱面(图8—6(a))，根据高斯定理得(2)设地面的电荷面密度为σ．在地表面取底面积为S ∆，高为h 的高斯柱面(图8—6(b))，根据高斯定理得8-7一半径为R 的带电球，其电荷体密度为)/1(0R r -=ρρ，0ρ为一常量，r 为空间某点至球心的距离.试求：(1)球内、外的场强分布；(2)r 为多大时，场强最大?等于多少?解由于电荷球对称分都，故电场也球对称分布。
利用高斯定理．取半径为r 的同心高斯球面。
8-8如图所示，一个均匀分布的正电荷球层，电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R 1，外表面半径为R 2.试求：(1)A 点的电势；(2)B 点的电势.解内电荷的球对称分布，用高斯定理可求出各区域的电场强度E 。
8-9一个细玻璃捧，被弯成半径为R 的半圆形，其上均匀分布有电量q +，试求圆心O 处电场强度及电势．分析此题电量是连续分布的，此类问题的解题思路是将整个带电体分割成无限多的电荷元，先计算任意一个电荷元在给定点产生的场强和电势，再用积分法求给定点的总场强和总电势．如何取微元并建立微分式是难点，此外，用积分法求解电场强度时要注意，场强积分是矢量积分，应先把d E 在坐标轴上进行投影，求出d E 的各分量x dE 、y dE 、z dE ，再对各分量进行积分．解选择如图所示坐标系．在细玻璃棒取一长为d l 的线元，此线元与圆心的连线与y 轴的夹角为θ，所张圆心角为d θ，则该线元所带电量dq 为8-10一半径为R 的无限长圆柱形带电体，其体电荷密度)(R r Ar ≤=ρ，A 为正常数．试求：(1)圆柱体内外各点场强大小的分布；(2)选距轴线距离为)(R l l >处为零势0点，计算圆柱体内外各点的电势分布．8-11如图所示，一半径为R1的均匀带电绝缘固体球．电荷体密度为ρ，从球中挖去一半径为R2的球形空腔，,空腔中心O'与球心O的距离为a，试求：(1)空腔中心O'处的电场强度．(2)空腔中心O'处的电势.8-12电量q 均匀分布在长度为2L 的细直导线上，如图所示．(1)求其延长线上距离线段中心为x 处(x ＞L)的电势(设无限远处电势为零)；(2)利用电势梯度求该点的电场强度．分析本题可用电势叠加原理求电势．解(1)取如图所示的坐标系，在带电直线上取一线d l ，该线元所含电荷为dq ＝dl Lq dl 2=λ，电荷元dq 在延长线上x 处产生的电势为8-13如图所示，一带电均匀的平面圆环，内外半径分别为R 1和R 2，电荷面密度为)0(>σσ．一质子被加速后，自P 点沿圆环轴线处射向圆心O ，若质子达到O 点时的速度恰好为零，试求质子位于P 点的动能E k ．(忽略重力影响，OP ＝L)分析这是一道力学与静电学的综合习题．根据动能定理，质子在OP 上运动时受到电场力做的功等于质子动能的增量．电场力做的功有两种求解方法：一种是利用电势差求解，即W ＝e (V P —V O )；另外一种方法是利用功的定义求解，即⎰⋅=O P d e W l E 。
第一种方法需要求O 、P 两点的电势，第二种方法需要求OP 上的场强。
第9章电场与物质的相互作用9-1面积很大的导体平板A与均匀带电平面B平行放置，如图所示.已知A与B相距d，两者相对部分的面积为S.(1)设B面带电量为q，A板的电荷面密度为1σ及2σ，求A板σ及2σ.与B面的电势差.(2)若A板带电量为Q，求19-2半径为R1的导体球带有电荷小球外有一个内、外半径分别为R2、R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q，如图所示.(1)求两球的电势V l及V2；(2)求两球的电势差V∆；(3)用导线把球和壳连接在一起后，V l、V2及V∆分别是多少?(4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，则V l、V2及V∆分别是多少?(5)设外球离地面很远，若内球接地，情况如何?9-3如图所示，半径为R的金属球与地相连接，在与球心相距d=2R处有一点电荷q(q ＞0)．问球上的感应电荷q′有多少(设金属球距地间及其他物体很远)?9-4已知铜的摩尔质量M＝63.75g.mol-1，密度 ＝8.9g.cm-3，在铜导线里，假设每一个铜原子贡献一个自由电子．为了技术安全，铜线内最大电流密度m j ＝6.0A.mm -2，求此时铜线内电子的漂移速率d υ．9-5有两个半径分别为R 1和R 2的同心球壳，其间充满了电导率为σ的介质，若在两球壳间维持恒定的电势差U ，求两球壳间的电流．（答案：12124R R R UR I -=πσ）9-6在如图所示的电路中，已知电池A 的电动势A ε＝24v ，内阻R A ＝2Ω，电池B 的电动势B ε＝12V ．内阻R B ＝1Ω，外阻R ＝3Ω．试计算：(1)电路中的电流；(2)电池A 的端电压U 12；(3)电池B 的端压U 34；(4)电池A 所消耗的化学能功率以及所输出的有效功率；(5)输入电池B 的功率及转变为化学能的功率；(6)电阻R 所产生的热功率．9-7一段含源电路如图所示，已知I1＝1A，1ε＝1.5V，r1＝5Ω，R1＝10Ω；I2＝0.8A，ε＝2.0V，r2＝3Ω，R2＝15Ω；I3＝1.2A，3ε＝3.0V，r3＝4Ω，R3＝20Ω．求a、b两2点的电势差U ab.分析本题可直接应用一段含源电路的欧姆定律求解，但应注意电阻上电压降和电源电动势的符号规定。
9-8半径为R的导体球，带有电荷Q，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内、外半径分别为a和b，相对介电常量为rε，如图所示.求：(1)各区域的电场强度E．电位移矢量D及电势V，绘出E(r)、D(r)及V(r)图线；(2)介质内的电极化强度P和介质表面上的极化电荷面密度σ'.9-9—块大的均匀电介质平板放在一电场强度为E 0的均匀电场中，电场方向与板的夹角为θ．如图所示.已知板的相对介电常量是r ε，求板面的面束缚电荷密度.解在电介质内束缚电荷产生的电场方向与板面垂直。
设板面的顶束缚电荷密度为σ'、则电介质内束缚电荷产生的场强为9-10两共轴的导体圆筒，内筒半径为R 1，外筒的内半径为R 2(R 2＜2R 1)，其间有两层均匀介质，分界面的半径为r ，内层介电常量为1ε，外层介电常量为)2(212εεε=，两介质的击穿场强都是E m ，当电压升高时，哪层介质先击穿?证明：两筒最大电势差为122ln 21rR R r E V m m =解设两导体圆筒上电荷线密度分别为λ和λ-，则空间电场分布为9-11为了测量电介质材料的相对介电常量．将一块厚为1.5cm 的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm 的两平行板之间.在插入过程中，电容器的电荷保持不变.插入之后，两板间的电势差减小为原来的60％，求电介质的相对介电常量.9-12某计算机键盘的每一个键下面连有一小块金属片，它下面隔一定空气隙有另一块小的固定金属片.这样两片金属片就组成一个小电容器(如图).当键被按下时，此小电容器的电容就发生变化，与之相连的电子线路就能检测出是哪个键被按下了，从而给出相应的信号.设每个金属片的面积为50.0mm 2，两金属片间的距离是0.600mm.如果电子线路能检测出的电容变化是0.250PF ，那么键需要按下多大的距离才能给出必要的信号?9-13如图所示、—平行板电容器充以两种电介质，试证其电容为2210r r d A C εεε+=.9-14如图所示.一平板电容器，两极板相距d，面积为S．电势差为U，板间放有—层厚为t的介质，其相对介电常量为rε，介质两边都是空气.略去边缘效应，求：(1)介质中的电场强度E、电位移矢量D和极化强度P的大小；(2)极板上的电量Q；(3)极板和介质间隙中的场强大小；(4)电容.9-15两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，两圆柱面之间充有介电常量为ε的均匀电介质.当两个圆柱面带有等量异号电荷+Q、-Q时，求：(1)半径为r(a＜r＜b)处的电场能量密度；(2)电介质中的总能量，并由此推算出圆柱形的电容器的电容.第10章稳恒磁场10-1如图（a）所示，电流I均匀地流过宽为b的无限长平面导体薄板，求(1)通过板的中线并与板面垂直的直线上P点的磁感应强度；(2)若b为无穷大，电流线密度为j，结果如何?10-2如图(a)所示，半球面半径为R，均匀带电，电荷面密度为σ，当其绕对称轴以角速度ω旋转时，求球心处的磁感应强度．10-3在半径为R的无限长金属圆柱体内部挖去一半径为R'的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距d，有电流沿轴线方向流动，且均匀分布在空心柱体的截面上，电流密度为j.试证明空腔中的磁场是均匀的．分析这是一个非对称的电流分布，其磁场分布不满足轴对称，因而不能直接用安培环路定理求解，但可以利用补偿法求空腔内的磁场．将如图所示的载流导体视作两根半径分别为R和R′的实心圆柱导体，电流密度相同，方向相反，这时空腔内任一点磁感应强度B＝B1+B2，其中B1、B2分别是半径为R和R′的实心圆柱体在该点激发的磁感应强度，它们分别可由安培环路定理求得．10-4半径为R的平面圆形线圈中载有电流I2，另一无限长导线AB中载有电流I1，若AB与圆心相距d(d＞R)且与线圈共面，求圆形线圈所受的磁力．分析圆电流处于无限长直电流产生的非均匀磁场中，但由对称性分析仍可知线圈在y方向所受合力为零．在圆电流上选取电流元，由安培定律分解积分可求得线圈所受磁力．10-5一半径为R的薄圆盘，放在磁感应强度为B0的均匀磁场中，B0的方向与盘平行，在圆盘表面上，电荷面密度为σ，若圆盘以角速度ω绕通过盘心并垂直盘面的轴转动，求：(1)圆盘在盘心处产生的磁感应强度；(2)圆盘产生的磁矩；(3)圆盘所受的磁力矩．10-6如图所示，两带电粒子同时射入均匀磁场，速度方向皆与磁场垂直.(1)如果两粒子质量相同，速率分别是υ和2υ；(2)如果两粒子速率相同，质量分别是m和2m；那么，哪个粒子先回到原出发点?10-7图（a）是一个磁流体发电机的示意图.将气体加热到很高温度，使之电离而成为等离子体，并让它通过平行板电极1、2之间，在这里有一垂直于纸面向里的磁场B.试说明υ的电压(υ为气体流速，d为电极间距).问哪个电极是正这两极之间会产生一个大小为Bd极?解等离子体在磁场中受磁力作用，正、负电荷受的磁力方向如图（b ）所示。