《传感器与传感器技术》计算题解题指导（供参考）第1章 传感器的一般特性1-5 某传感器给定精度为2%F·S ，满度值为50mV ，零位值为10mV ，求可能出现的最大误差δ(以mV 计)。
当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。
由你的计算结果能得出什么结论? 解：满量程（F •S ）为50~10=40(mV)可能出现的最大误差为：∆m ＝40⨯2%=0.8(mV)当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：%4%10021408.01=⨯⨯=γ%16%10081408.02=⨯⨯=γ1-6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数τ和静态灵敏度K 。
（1） T y dtdy5105.1330-⨯=+ 式中，y 为输出电压，V ；T 为输入温度，℃。
（2） x y dtdy6.92.44.1=+ 式中，y ——输出电压，μV ；x ——输入压力，Pa 。
解：根据题给传感器微分方程，得 (1) τ=30/3=10(s)，K =1.5⨯10-5/3=0.5⨯10-5(V/℃)；(2) τ=1.4/4.2=1/3(s)，K =9.6/4.2=2.29(μV/Pa)。
1-7 设用一个时间常数τ=0.1s 的一阶传感器检测系统测量输入为x (t )=sin4t +0.2sin40t 的信号，试求其输出y (t )的表达式。
设静态灵敏度K =1。
解 根据叠加性，输出y (t )为x 1(t )=sin4t 和x 2(t )= 0.2sin40t 单独作用时响应y 1(t )和y 2(t )的叠加，即y (t )= y 1(t )+ y 2(t )。
由频率响应特性：)8.214sin(93.0)1.04arctan(4sin[)1.04(11)]arctan(4sin[)(1)(21211 -=⨯-⋅⨯+=-+⋅+=t t t K t y τωτω)96.7540sin(049.0)]1.040arctan(40sin[2.0)1.040(11)(22 -=⨯-⨯⨯+=t t t y 所以y (t )= y 1(t )+ y 2(t )=0.93sin(4t -21.8︒)+0.049sin(40t -75.96︒)1-8 试分析)()(d )(d t Cx t By tt y A =+传感器系统的频率响应特性。
解 传感器系统的时间常数τ=A /B ，灵敏度K =C /B 。
所以，其频率响应为2)/(1/)(B A B C A ωω+=相频特性为)/arctan()(B A ωωϕ-=1-9 已知一热电偶的时间常数τ=10s ，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s ，静态灵敏度K =1。
试求该热电偶输出的最大值和最小值。
以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解：依题意，炉内温度变化规律可表示为x (t) =520+20sin(ωt)℃由周期T =80s ，则温度变化频率f =1/T ，其相应的圆频率 ω=2πf =2π/80=π/40； 温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y (t )为y (t )=520+B sin(ωt +ϕ)℃热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为()()7860104011112022.B A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯π+=ωτ+==ω 因此，热电偶输出信号波动幅值为B =20⨯A (ω)=20⨯0.786=15.7℃由此可得输出温度的最大值和最小值分别为y(t )|m ax =520+B=520+15.7=535.7℃ y(t )|m in =520﹣B=520-15.7=504.3℃输出信号的相位差ϕ为ϕ(ω)= -arctan(ωτ)= -arctan(2π/80⨯10)= -38.2︒相应的时间滞后为∆t =()s 4.82.3836080=⨯ 1-10 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即x y dt dy dt y d 1010322100.111025.2100.3⨯=⨯+⨯+式中，y 为输出电荷量，pC ；x 为输入加速度，m/s 2。
试求其固有振荡频率ωn 和阻尼比ζ。
解: 由题给微分方程可得()()s rad n /105.11/1025.2510⨯=⨯=ω01.011025.22100.3103=⨯⨯⨯⨯=ξ1-11 某压力传感器的校准数据如表1-5所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。
（最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录）解 校验数据处理（求校验平均值）：（1）端点连线法 设直线方程为y =a 0+kx ，取端点（x 1，y 1）=（0，-2.70）和(x 6，y 6)=（0.10，14.45）。
则a 0由x =0时的y 0值确定，即a 0=y 0-kx =y 1=-2.70 (mV)k 由直线的斜率确定，即5.171010.0)70.2(45.141616=---=--=x x y y k （mV/MPa ）拟合直线方程为y =-2.70+171.5x所以，压力传感器的非线性误差为%7.0%100)70.2(45.1412.0±=⨯--±=L δ♦求重复性误差：最大不重复误差为0.08 mV ，则重复性误差为%47.0%100)70.2(45.1408.0±=⨯--±=R δ♦求迟滞误差：最大迟滞为0.10mV ，所以迟滞误差为%58.0%100)70.2(45.1410.0±=⨯--±=H δ（2）最小二乘法 设直线方程为y =a 0+kx数据处理如下表所示。
根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：()mV)(77.2042.08826.076626.03.0022.06942.23.083.34022.02222-=-=-⨯⨯-⨯=-⋅-⋅=∑∑∑∑∑∑x x n xy x y x a())MPa /mV (5.1713.0022.0683.343.0942.26222=-⨯⨯-⨯=-⋅-=∑∑∑∑∑x x n yx xy n k所以，最小二乘法线性回归方程为 y =-2.77+171.5x求非线性误差：所以，压力传感器的非线性误差为%41.0%100)77.2(38.1407.0±=⨯--±=L δ可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差δR 和迟滞误差δH 是一致的。
1-12 用一个一阶传感器系统测量100Hz 的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz 的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？解: 根据题意()%51112-≥-+=ωτγ （取等号计算）()0526.195.01%51112==-=+ωτ解出ωτ =0.3287所以()s 310523.010023287.0/3287.0-⨯=⨯==πωτ=0.523ms当用该系统测试50Hz 的正弦信号时，其幅值误差为()()%32.1110523.050211111232-=-⨯⨯⨯+=-+=-πωτγ相位差为ϕ=﹣arctan(ωτ)=﹣arctan(2π×50×0.523×10-3)=﹣9.3°1-13 一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f 0=800Hz ，阻尼比ζ=0.14，现用它作工作频率f =400Hz 的正弦变化的外力测试时，其幅值比A(ω)和相位角ϕ(ω)各为多少；若该传感器的阻尼比ζ=0.7时，其A(ω)和ϕ(ω)又将如何变化?解: 5.08004002200====f f f f n ππωω所以，当ξ=0.14时()()[]()2222411n n A ωωζωωω+-=()31.15.014.045.0112222=⨯⨯+-=()()()() 6.101845.05.015.014.02arctan12arctan22-=-=-⨯⨯-=--=rad n n ωωωωξωφ 当ξ=0.7时()()975.05.07.045.0112222=⨯⨯+-=ωA()()4375.05.015.07.02arctan2-=-=-⨯⨯-=rad ωϕ1-14 用一只时间常数τ=0.318s 的一阶传感器去测量周期分别为1s 、2s 和3s 的正弦信号，问幅值相对误差为多少?解：由一阶传感器的动态误差公式()1112-+=ωτγτ=0.318s%2.551)318.02(11)(211)1(21-=-⨯+=⇒=⇒=⇒=πγπωrad Hz f s T%3.29)(5.02)2(2-=⇒=⇒=⇒=γπωrad Hz f s T%8.16)(32313)3(3-=⇒=⇒=⇒=γπωrad Hz f s T1-15 已知某二阶传感器系统的固有频率f 0=10kHz ，阻尼比ζ=0.1，若要求传感器的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。
解：由f 0=10kHz ，根据二阶传感器误差公式，有()[]()%nn 314112222≤-ωωξ+ωω-=γ()[]()069103141122222..nn =≤ωωξ+ωω-将ζ=0.1代入，整理得()()00645.096.124=+-n n ωωω⎩⎨⎧=⇒⎩⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0.183(388.10335.0927.12舍去）n nωωωω ()kHz f f f f f f o oo n 83.110183.0183.0183.022=⨯==⇒===ππωω 1-16 设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz 和1.2kHz ，阻尼比均为0.4。
今欲测量频率为400Hz 正弦变化的外力，应选用哪一只?并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。
解：由题意知⎩⎨⎧===3/11200/4005.0800/400n ωω 则其动态误差()4.0=ξ()[]()141122221-+-=nnωωξωωγ[]%6.1715.04.045.0112222=-⨯⨯+-=()[]()1314.04311122222-⨯⨯+-=γ =7.76%相位差()()212n 115.015.04.02tan / 1/2tan -⨯⨯-=--=--ωωωωξϕn ()︒-=-=9.2749.0rad ()()2123/11314.02tan -⨯⨯-=-ϕ= -0.29(rad)= -16.6°第2章 电阻应变式传感器2-5 一应变片的电阻R 0=120Ω，K =2.05，用作应变为800µm/m 的传感元件。