第一章习题解答
1、证明 A (B C)=(A B) (A C)
证明:设x∈A (B C),则x∈A或x∈(B C),若x∈A,则x∈A B,且
x∈A C,从而x∈(A B) (A C)。
若x∈B C,则x∈B且x∈C,于是x∈A B 且x∈A C,从而x∈(A B) (A C),因此
A (B C) ⊂ (A B) (A C) (1)
设x∈(A B) (A C),若x∈A,则x∈A (B C),若x∈A,由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C,所以x∈B C,所以x∈A (B C),因此
(A B) (A C) ⊂ A (B C) (2)
由(1)、(2)得,A (B C)=(A B) (A C) 。
2、证明
①A-B=A-(A B)=(A B)-B
②A (B-C)=(A B)-(A C)
③(A-B)-C=A-(B C)
④A-(B-C)=(A-B) (A C)
⑤(A-B) (C-D)=(A C)-(B D)
(A-B)=A B
A-(A B)=A C(A B)=A (CA CB)
=(A CA) (A CB)=φ (A CB)=A-B
(A B)-B=(A B) CB=(A CB) (B CB)
=(A CB) φ=A-B
②(A B)-(A C)=(A B) C(A C)
=(A B) (CA CC)=(A B CA) (A B CC)=φ [A (B CC)]=
A (B-C)
③(A-B)-C=(A CB) CC=A C(B C)
=A-(B C)
④A-(B-C)=A C(B CC)=A (CB C)
=(A CB) (A C)=(A-B) (A C)
⑤(A-B) (C-D)=(A CB) (C CD)
=(A C) (CB CD)=(A C) C(B D)
=(A C)-(B D)
⑥A -(A -B)=A C(A CB)=A (CA B)
=(A CA) (A B)=φ (A B)=A B
3、证明: (A B)-C =(A -C) (B -C)
A -(
B C)=(A -B) (A -C)
证明:(A B)-C =(A B) CC
=(A CC) (B CC)=(A -
(A -B) (A -C)=(A CB) (A CC)
=(A A) (CB CC)=A C(B C)=A -(B C)
4、证明:s C (∞=1i i A )=∞=1
i s C i A 证明:设x ∈s C (∞=1i i A ),则x ∈∞=1
i i A ,于是,i ∀、x ∈i A ,从而x ∈C i A ,所以,x ∈∞=1i C i A ,所以,s C (∞=1i i A )⊂∞=1
i s C i A 。
设x ∈∞=1i s C i A ,则i ∀、x ∈C i A ,即x ∈i A ,于是,x ∈∞=1
i i A ,即x ∈C (∞=1i i A ),所以∞=1i C i A ⊂ C (∞=1
i i A ),由以上两步得 s C (∞=1i i A ) = ∞=1
i s C i A
N ∈ααA )-B =N
∈α (αA -B) ②(N ∈α αA )-B =N
∈α (αA -B) 证明:①(N ∈α αA )-B =(N
∈α αA ) CB =N ∈α (αA CB)=N
∈α (αA -B)
②(N ∈α αA )-B =(N
∈α αA ) CB =N ∈α (αA CB)=N
∈α (αA -B) 6、设{n A }是一列集合,作1B =1A ,n B =n A -(11
-=n k k A )n >1。
证明n B 是一列互不相交的集,而且n k 1= k A =n k 1
= k B ,n =1,2,3,…。
证明:设i ≠j ,不妨设i <j ,因为
i B j B ⊂i A [j A -(11
-=j k k A )] =i A [j A (11
-=j k C k A )] =i A j A [C i A (11-≠=j i
k k C k A )]=(i A C i A ) j A (11-≠=j i k k C k A )=φ j A (11-≠=j i
k k k A )=φ ∴ i B j B =φ,{n B }互不相交。
∵ i B ⊂i A ,∴ n k 1= k A =n k 1
= k B 。
另一方面,设x ∈n k 1= k A ,则存在最小的自然数i ,使x ∈i A ,x ∈11
-=i k k A ,11-=i k k A =i B ⊂n k 1
= k B , ∴ n k 1= k A ⊂n k 1= k B ∴ n k 1= k A =n
k 1= k B 。
7、设12-n A =(0,n 1
),n A 2=(0,n ),n =1,2,…,求出集列{n A }的上限集和下限集。
解:∀n 。
∵ 12-n A =(0,n 1),n A 2=(0,n ),
∴ 12-n A ⊂n A 2 。
∞=n m m A =∞=n m (12-m A m A 2)=∞=n m m A 2=∞=n
m (0,m )=(0,∞)
∞→n lim n A =∞=1n ∞=n m m A =∞=1
n (0,∞)=(0,∞) ∞=n m m A =∞=n m (12-m A m A 2)=∞=n
m 12-m A =∞=n
m (0,m 1)=φ
∴ ∞→n lim n A =∞=1n ∞=n m n A =∞=1n φ=φ 。
8、证明:∞→n lim n A =∞=1n ∞=n
m m A
证明:x ∈∞→n lim n A ⇒∃n ,∀m ≥n ,有x ∈m A ⇒∃n ,x ∈∞=n
m m A ⇐⇒
x ∈∞=1n ∞=n m m A ,∴ ∞→n lim n A =∞=1n ∞=n
m m A 。
9、作出一个(-1,1)和(-∞,+∞)的1—1对应,并写出这一对应的解析表达式。
解:y=tg 2
π
x ,x ∈(-1,1),y(-∞,+∞)。
10、证明将球面去掉一点以后,余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。
证明:用P 表示在球面上挖去的那一点,P 与球心O 的连线交球面于M ,过M 作球面的切平面,过P 点和球面上任一点N 引直线,该直线与平面交于N ',将N 与N '对应,P 与M 对应,则球面上的点与整个平面上的点用上述方法构成一个一一对应,由对等的定义,挖去一点的球面与平面是对等的。
A 的元素,则A 至多为可数集。
开区间中任取一有理数与该区间对应,由于开区间互不相交,故不同开区间对应不同的有理数,但有理数全体为一可数集,其子集至多是可数集,所以直线上互不相交的开区间作成的集至多是可数集。
12、证明所有系数为有理数的多项式组成一可数集。
证明:以A 表示这个集合,n A 表示n 次有理系数多项式的全体,则A =∞=0
n n A 。
n A 由n +1个独立记号,即n 次多项式的n +1个有理系数所决定,其中首项系数为异于0的有理数,其余系数可取一切有理数,因此,每个记号独立地跑遍一个可数集,所以,n A 是可数集,A
13、设A 是平面上以有理点为中心,有理数为半径的圆的全体,则A 是可数集。
证明:A 中任一元素由三个独立记号(a ,b ,r )所决定,其中(a ,b )是圆心的坐标,r 是圆的半径,a 、b 各自跑遍全体有理数,r 跑遍大于0的有理数,而且它们都是可数集,故A 是可数集。
14、证明单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。
证明:设)(x f 是(-∞,+∞)上的单调增加函数,其不连续点的全体记为E ,设0x ∈E ,由数学分析知,0x 必为第一类不连续点,即其左、右极限)0(0-x f 、)0(0+x f 必存在,且)0(0-x f <)0(0+x f ,这样,每个不连续点0x 对应一个开区间()0(0-x f ,)0(0+x f ),且这些开区间互不相交。
由11题知,这些开区间最多有可数多个,所以,E 最多是一个可数集。