S
性质1
若 , 为常数，则有 ( F G ) dS F dS
S S
性质2
对定侧曲面的可加性
S 1 , S 2 为与 S 同侧 设 S S1 S 2 ， S1 S 2 ， 的定侧曲面，则
F dS F dS F dS
S S1 S2
7
性质3
方向性
S 若 表示曲面 S 的另一侧，则
F dS F dS .
S S
积分曲面改变为相反侧时,曲面积分变号：
P ( x, y, z ) dydz P ( x, y, z ) dydz
S S
Q( x, y, z ) dzdx Q( x, y, z ) dzdx
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦
侧的规定
cos
cos
cos
封闭曲面
外侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xOy 面上的投影记为
(S ) x y , (S ) x y
S S
R( x, y, z ) dxdy R( x, y, z ) dxdy
S S
8
三、第二类曲面积分的计算法
1. 如果 由 z z( x, y) 给出, 则有
S上侧
z
S
R( x, y, z ) dxdy R[ x, y, z( x, y )] dxdy
n
i 1
Σ
lim P( i ,i , i ) cos i Q(i ,i , i ) cos i
0 i 1
lim
0
i 1
3

n
R(i ,i , i ) cos i Si
定义 设 S 是一个有界的定侧曲面，记 S 上每一点 M 处的沿指定侧的单位法向量为 0 n ( M ) cos i cos j cos k , 又设向量值函数 F ( M ) F ( x, y, z ) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k , 其中函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) 是定义在曲面
[ P ( x , y, z ) cos Q( x , y, z ) cos R( x , y, z ) cos ]dS
4
0 F ( M ) n dS
S
[ P ( x , y, z ) cos Q( x , y, z ) cos R( x , y, z ) cos ]dS
分析: 若 是面积为S 的平面,
n
v
法向量:
流速为常向量: 则流量

S
2
对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
ni vi
进行分析可得 lim vi n i Si 0
n
设 ni (cos i , cos i , cos i ) , 则
S S
z S i
S

vi
( i ,i , i )
o
y
x [ P dy dz Q dz dx R dx dy
S
6
二、第二类曲面积分的性质
光滑或分块光滑曲面．
设 F , G 是定义在定侧曲面 S 上的向量值函数，S 为
线性性质
G dS
S 上的有界函数，则函数 0 F ( M ) n P( x, y, z) cos Q( x, y, z) cos R( x, y, z) cos
在S上的第一类曲面积分
称为向量值函数F ( M ) 沿定侧曲面 S 上的第二类曲面积分．
S S
0 F ( M ) n dS
S S
[ P ( x , y , z ) dy dz Q ( x , y , z ) dz dx R( x , y , z ) dx dy
S
5
第二类曲面积分的物理意义 密度为 ( x, y, z ) 的流体以流速
V ( M ) V ( x , y, z ) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k 0 沿曲面 S 指定方向n 的流量 0 K V n dS V dS
D xy
S下侧
R( x, y, z ) dxdy R[ x, y, z( x, y )] dxdy o
D xy
一投： 将曲面 S 向 xOy 面投影，得 Dxy ; 二代： f ( x , y , z )
x
D xyyS :来自z z( x , y )f ( x , y, z( x , y )) ;
S
0 dS ， n dS 称为有向面积元素，记为
它在三个坐标平面上的投影分别记为 cos dS dy dz , cos dS dz dx , cos dS dx dy , 于是，第二类曲面积分可以写成如下形式 0 F n dS F dS
的面积为
则规定
( ) x y , 当cos 0时 ( ) x y , 当cos 0时 当cos 0时 0,
类似可规定
(S ) yz , (S ) zx
1
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量 .
cos 0
三定号： S 上侧取“ ”号；S 下侧取“ ”号.
cos 0
9
2. 如果 S 由 x x( y, z ) 给出, 则有