i 1
的最大值 0时, 这和式的极限存在, 则
对面积的曲面积分
n
称 f (i ,i , i ) Si 极限为函数 f ( x, y, z)在
i 1
在曲面上对面积的曲面积分 或
第一类曲面积分.记为 f ( x, y, z)dS. 即
n
f ( x, y, z)dS
lim
0
i 1
f (i ,i , i )Si
1. 定义
设曲面Σ是光滑的, ①
O
函数 f(x,(y,
x
iz))xy在• Σ上Dxy(
i
,
i
,
)
y
有界. 把Σ 任意分成n小块 Si(Si同时也表示
任第n 意i f小取(块定i ,曲的i ,面点i的),作面S乘i积,④积)如,②果f设(当i点,各(i小,i ,i块)i,曲Sii面③),为并的作直Si上和径
O
故 ( x y z)dS
x
y
2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
的二 2 (5 x)dxdy
对重 称积
Dxy
性分 2 5dxdy 125 2
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f ( x, y, z)dS
0,
当f ( x, y, z)为 x的奇函数
A 1 dS
1
z
2 x
z
2 y
d
D
对面积的曲面积分
三、对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算.
按照曲面的不同情况分为以下三种：
(1) 若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y, z(x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
(2) 若曲面 : y y( x, z)
O
x
y
2
D
对面积的曲面积分
3 : x2 y2 1 将投影域选在 xOz面上 z
注 y 1 x2 分成左、右两片
(左右两片投影相同)
xdS xdS xdS
对
3
31
称 2 xdS 2 x
性
31
Dxz
32
1 dxdz 1 x2
2 1
x
dx
x2
dz
1 1 x2 0
O
x
y
dS
1 yx2 yz2dxdz 1 dxdz
1 x2 z z x2
xdS 0 0
1 O 1
x
对面积的曲面积分
计算 ( x3 x2 y z)dS, 其中Σ为球面
z a2 x2 y2 之位于平面 z h(0 h a)
上方的部分.
解 曲面Σ的方程
zΣ
z a2 x2 y2 Σ在xOy面上的投影域
Dxy : x2 y2 a2 h2
O
x
y
Dxy : x2 y2 a2 h2
对面积的曲面积分
z a2 x2 y2
因曲面Σ关于yOz面及xOz面对称;
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y(x, z) , z]
1
y
2 x
yz2 dxdz
Dxz
(3)若曲面 ：x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z) , y, z]
1
x
2 y
xz2dydz
D yz
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分时,首先应根据
曲面Σ选好投影面, 确定投影域并写出 曲面Σ的方程, 然后算出曲面面积元素;
最后将曲面方程代入被积函数, 化为二 重积分进行计算.
例 计算 ( x y z)dS,其中为平面y z 5 被柱面 x2 y2 25 所截得的部分. z
解 曲面 : z 5 y
投影域: Dxy {(x, y) | x2 y2 25}
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算 xdS, 其中是圆柱面x2 y2 1,
平面 z
x
2及z
0
所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3Leabharlann z0 z x2x2 y2 1
投影域 D : x2 y2 1
z
对 xdS xdxdy 0
称 1
D
性
xdS x 1 1dxdy 0
O
x
y
有 4 成立 1为第一卦限部分曲面.
1
对面积的曲面积分
积分曲面 : z x2 y2 (0 z 1)
投影域：Dxy {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
| xyz | dS 4 xyz dS dS 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
1
4 xy ( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
4 2 d
1r2 cos sin r2
1 4r2 r dr
极 坐 标
0
0
2
2 sin 2d
1r5
1 4r2 dr
0
0
u
1 5 u(u 1)2du 125 5 1
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算 xdS, 其中是圆柱面x2 y2 1,
平面 z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
2
f
( x,
y,
z )dS .
当f ( x, y, z)为 x的偶函数
1
其中 1 : x x( y, z) 0.
对面积的曲面积分
例 计算| xyz | dS, 其中为抛物面z x2 y2(0 z 1).
解 依对称性知
抛物面 z x2 y2
z
关于xOz面、yOz面均对称；
被积函数 | xyz | 关于y、x为偶函数.
以dS为代表,取 ( x, y, z)有切dS平,则面,且当点在
dS的质量为: M dM曲面上( x连, y续, z)移dS动时,
切平面也连续转动. 第二步: 求和取极限
M ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分
z : z z(x, y)
Si •
二、对面积的曲面积分的定义
(i ,i , i )
第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分
surface integral
概念的引入 对面积的曲面积分的定义 对面积的曲面积分的计算法
对面积的曲面积分
一、概念的引入
实例 若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数 ( x, y, z),求它的质量.
解 第一步: 将Σ分为许多即极曲其面所微上谓小各曲的点面子处光域都滑,
积分曲面 被积函数 曲面元素
如曲面是 闭曲面,则积分号写成
2. 对面积的曲面积分的性质
若 可分为分片光滑的曲面1及 2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS
1
2
3. 对面积的曲面积分的几何意义
当f ( x, y, z) 1时，空间曲面Σ的面积: