例1．计算积分1dS z ∑⎰⎰，∑是球面2222
x y z R ++=被平面z h =（0h R <<）截出的
顶部。

例2．计算积分xydS ∑
⎰⎰
Ò，∑是圆柱面221x y +=与平面0z =，2x z +=围成的立体的
全表面。

例3．求()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
，其中∑为2222x y z t ++=（0t >）
，被积函
数2(,,)0
z x y
f x y z z ≥⎧+=⎨
⎩<
例4．计算积分
222
1dS x y z ∑++⎰⎰，⑴∑是球面2222
x y z R ++=；⑵∑是介于平面0z =，1z =之间的圆柱面222x y R +=。

例5．计算积分2z dS ∑
⎰⎰
，其中∑：2222x y z R ++=。

例6．计算积分()x y z dS ∑
++⎰⎰
，∑是上半球面2222x y z ++=被旋转抛物面22
z x y =+截出的顶部。

例7．计算曲面积分
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰
，∑
为锥面z =被圆柱面222x y ay
+=（0a >）所截下的部分。

例8．计算半径为a 的均匀半球壳的重心。

例1．计算积分1dS z
∑⎰⎰，∑是球面2222
x y z R ++=被平面z h =（0h R <<）截出的顶部。

解：∑
：z =
xoy 面上的投影区域D ：2222x y R h +=-，
=
=
1dS z ∑⎰⎰σ=⎰⎰
222
D R d R x y σ=--⎰⎰22D R rdrd R r θ=-⎰⎰22200r R d dr R r πθ=-⎰
2212(ln(2R R r π=⋅-
-(2ln 2ln )2ln R
R R h R h
ππ=⋅-= 例2．计算积分xydS ∑
⎰⎰
Ò，∑是圆柱面221x y +=与平面0z =，2x z +=围成的立体的
全表面。

解：123∑=∑+∑+∑
1∑：0z =，1D ：2
2
1x y +≤；
1
1
1
0D D xydS xyd σσ∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2∑：2z x =-， 2D ：221x y +≤
2
2
2
0D D xydS xyd σσ∑==⎰⎰
⎰⎰
3∑：221x y +=，33132∑=∑+∑，31∑
：y =32∑
：y = 31∑、32∑在xoz 面上的投影区域均为3D ，且3D 由2x z +=，1x =，1x =-，0
z =
==
xydS ∑
⎰⎰
Ò1
2
3
xydS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3
31
32
xydS xydS xydS ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
3
3
(D D x σσ=+⎰⎰⎰⎰3
2D xd σ=⎰⎰
111
2x dx xdz --=⎰⎰
1
124
2(1)2()33
x x dx -=-=-=-⎰
例3．求()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
，其中∑为2222x y z t ++=（0t >），被积函
数
2(,,)0
z x y
f x y z z ≥⎧+=⎨
⎩<
解：12∑=∑+∑，其中
1∑：2222x y z t ++=
（z ≥； 2∑：2222x y z t ++=
（z <；故
2
2
(,,)00f x y z dS dS ∑∑==⎰⎰
⎰⎰；
1∑
：z =xoy 面的投影区域为D ：2
2
2
2
t x y +≤，则
==1
12(,,)()f x y z dS x y dS ∑∑=+=
⎰⎰
⎰⎰2(D
x y σ+⎰⎰
2
t σ=
⎰⎰
22t θ=
⎰⎰
22
cos t d πθθ=⎰⎰
220
1cos 2122t d πθθ+=⋅⎰
22()2
t t r π
=-
32222
{()223t t r t π=--
33332(2)}23t t t π=--
-4
812
t -=
()(,,)F t f x y z dS ∑
=
⎰⎰
1
2
(,,)(,,)f x y z dS f x y z dS ∑∑=+=
⎰⎰
⎰⎰
4
812
t - 例4．计算积分
2221dS x y z ∑++⎰⎰，
⑴∑是球面2222
x y z R ++=；⑵∑是介于平面0z =，1z =之间的圆柱面222x y R +=。

解：⑴ 因为∑：2
2
2
2
x y z R ++=，故
2221dS x y z ∑++⎰⎰2
22114dS R R R
π∑==⋅=⎰⎰； ⑵ ∑：2
2
2
x y R +=，则
221
dS R z ∑+⎰⎰；
12∑=∑+∑，1∑
：y =，2∑
：y =，在xoz 面上的投影
区域相同均为D ：R x R -≤≤，01z ≤≤
，且对于y =，均有
==
2221
dS
x y z ∑++⎰⎰122
1
dS
R z ∑=+⎰⎰
2
22
1
dS R z
∑++⎰⎰
22
12D R z σ=+⎰⎰
1220
12R R
dz R z -=+⎰
⎰12arctan
R
π= 例5．计算积分
2z dS ∑
⎰⎰
，其中∑：2222x y z R ++=。

解：12∑=∑+∑，其中1∑
：z =
2∑
：z =；
== D ：2
2
2
x y R +=
2z dS ∑
⎰⎰
1
2
22z dS z dS ∑∑=+⎰⎰
⎰⎰22D
σ=⎰⎰
2R σ=⎰⎰
3424
233
R R R ππ=⋅=
或因为积分曲面具有轮换对称性，即
222z dS x dS y dS ∑
∑
∑
==⎰⎰
⎰⎰⎰⎰，则
2222
1()3z dS x y z dS ∑∑
=++⎰⎰⎰⎰2224
44333
R R dS R R ππ∑
=
=⋅=⎰⎰ 例6．计算积分()x y z dS ∑
++⎰⎰
，∑是上半球面2222x y z ++=被旋转抛物面22
z x y =+截出的顶部。

解：∑关于xoz 、yoz 坐标面对称，故
0ydS ∑
=⎰⎰
，0xdS ∑
=⎰⎰，故
∑
：z =，D ：221x y +≤
=
()x y z dS
∑
++⎰⎰
zdS ∑==
⎰⎰D
σ
⎰⎰
D
d σ==
例7．计算曲面积分
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰
，∑
为锥面z =被圆柱面222x y ay
+=（0a >）所截下的部分。

解：因为锥面、圆柱面均关于yoz 面对称，故曲面∑关于yoz 面对称，而xy xz +关于x 恰
好是奇函数，yz 关于x 是偶函数，从而
22y ay
=sin a θ
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰
yzdS ∑
=⎰⎰1
2yzdS ∑=⎰⎰
1∑
：z =，1D 如图所示。

()xy yz zx dS ∑++⎰⎰12yzdS ∑=
⎰⎰12D σ=⎰⎰
1
D σ=
1
sin D r r rdrd θθ=⋅⋅
2
2sin 3
sin a d r d π
θθθθ=
⎰
2
4
(2sin )sin 4
a d π
θθθ=
2
508sin a
d π
θθ=
442853a =⋅=
例8．计算半径为a 的均匀半球壳的重心。

解：设半球壳为上半球壳，即∑
：z =
D ：222x y a +≤；由球面的均匀
性，重心在对称轴z 轴上，即0==y x ，且
2
2a dS π=⎰⎰∑
=
⎰⎰∑zdS ⎰⎰
--⋅
--D
d y x a a y x a σ2
222223a d a D
πσ==⎰⎰
所以，⎰⎰⎰⎰∑
∑=
dS
zdS z 2
22
3a
a a ==ππ，重心坐标为)2,0,0(a 。