函数单调性的判断或证明方法.
（1）定义法。

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设
，且
；②作差，求
；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断
的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
例2.证明函数在区间
和
上是增函数；在
上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则
因为，所以
,
所以，所以
所以
设
则，
因为，所以，所以
所以
同理，可得
（2）运算性质法.
①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）
②若.
③当函数.
④函数二者有相反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。

（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例3.求函数的单
调区间。

解：
在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为
减区间为.
（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合
是内层函数
的一个单调区间，则
便是原复合函数
的一个单调区间，如例4；若
不是内层函数
的一个单调区间，则需把划分成内层函数
的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，
，
都是单调函数，则
在
上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

如下表：
例4.求函数的单调区间
解原函数是由外层函数和内层函数
复合而成的；
易知是外层函数
的单调增区间；
令，解得
的取值范围为
；
由于是内层函数
的一个单调减区间，于是
便是原函数的一个单调区间；
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，
是原函数的单调减区间。

例5求函数的单调区间.
解原函数是由外层函数和内层函数
复合而成的；
易知和
都是外层函数
的单调减区间；
令，解得
的取值范围为
；
结合二次函数的图象可知不是内
层函数的一个单调区间，但可以把区间
划分成内层函数的两个单调子区间
和
，其中是其单调减区间，是其单调增区间；
于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，
是原函数的单调增区间，
是原函数的单调减区间。

同理，令，可求得
是原函数的单调增区间，
是原函数的单调减区间。

综上可知，原函数的单调增区间是和
，单调减区间是
和
.
（5）含参数函数的单调性问题.
例.设（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）
解：由题意得原函数的定义域为
，
当上为减函数；
当上为增函数。

（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题）
常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进行证明。

例１已知函数对任意实数
，均有．且当
＞０时，＞０，试判断的单调性，并说明理由.
解析：设，且
，则
－
＞０，故
＞０．
∴－
＝－
＝＋
－
＝＞０．
∴＜
．故
在（－
，＋）上为增函数．
例2. 设f(x)定义于实数集上，当时，
，且对于任意实数x、y，有
，求证：
在R上为增函数。

证明：
在中取
，得
若，令
，则
，与矛盾
所以，即有。