专题四：指数函数和对数函数
一、知识梳理
1.指数函数
（1）指数函数的定义
一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数.
（2）指数函数的图象
O x
a > ）1y (0a 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.
（3）指数函数的性质
①定义域：R .
②值域：（0，＋∞）.
③过点（0，1），即x =0时，y =1.
④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.
2.
对数函数 （1）对数函数的定义
函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数.
（2）对数函数的图象
y
O
x y
<a <y = l o g x a 111
0())
x 轴对称.
（3）对数函数的性质:
①定义域：（0，+∞）.
②值域：R .
③过点（1，0），即当x =1时，y =0.
④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.
二、基础练习
1．若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有( )
A.0＜a ＜1且b ＞0
B.a ＞1且b ＞0
C.0＜a ＜1且b ＜0
D.a ＞1且b ＜0 解析：作函数y =a x +b －1的图象.答案：C
2. 已知c a b 212
121log log log <<，则( A )
A ． 2b >2a >2c
B ．2a >2b >2c
C ．2c >2b >2a
D ．2c >2a >2b
3.函数)
34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为 （1，2）∪（2，3） 4. 若011log 22<++a a a ，则a 的取值范围是 )1,2
1(
5.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1(-内单调递增，则a 的取值范围是 )1,43[
6.方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是 }2,1{- .
7．函数y =（
2
1）222+-x x 的递增区间是___________. 解析：∵y =（2
1）x 在（－∞，+∞）上是减函数，而函数y =x 2－2x +2=（x －1）2+1的递减区间是（－∞，1），∴原函数的递增区间是（－∞，1）.
8．若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为_（－1，+∞）.
解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.
由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），
∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）.
三、典型例题 例1．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = 。

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.
答案：①x 轴，－3－log 2x ②y 轴，3+log 2(－x ) ③原点，－3－log 2(x ) ④直
线y=x , 2x －3
例2. 若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)2
1
,0(内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) 答案：)21,(--∞
例3．若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）.
（1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；
（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）.
解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ， ∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b .
由已知有log 22a －log 2a +b =b ， ∴（log 2a －1）log 2a =0.
∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.
又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.
故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －
21）2+47. ∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值4
7. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2
)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 例4．要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.
解：由题意，得1+2x +4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立，
即a ＞－x x
4
21+在x ∈（－∞，1）上恒成立. 又∵－x
x 421+=－（21）2x －（21）x =－［（21）x +21］2+41， 当x ∈（－∞，1］时值域为（－∞，－43］，∴a ＞－4
3. 四、课后练习
1.已知f （x ）=a x ，g （x ）=－log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1，则y =f （x ）与y =g （x ）的图象（ C ）
A.关于直线x +y =0对称
B.关于直线x －y =0对称
C.关于y 轴对称
D.关于原点对称
2．设函数x x x f -+=11ln
)(，则函数)1()2()(x
f x f x
g +=的定义域为_(2,1)⋃(1,2)__
3.已知f （x ）=log 3
1［3－（x －1）2］，则f （x ）的值域为 ,单调增区间为 ,
单调减区间为 .
解：∵真数3－（x －1）2≤3，
∴log 31［3－（x －1）2］≥log 3
13=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞］.
又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，
∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3］时，f （x ）单调递增.
4．已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,
4),1(,4,)21(x x f x x 则f （2+log 23）的值为
剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4，∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241.
5．若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______________. 解析：数形结合.由图象可知0＜2a ＜1，0＜a ＜2
1.
6．若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1＝在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 .
解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.
∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =
31. ∴1+log a 2=31.∴log a 2=－3
2.∴a =42.
7.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 .
解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，
∴a +b =3.
8. 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.
解：定义域为x ＞3， 原函数为y ＝lg 3
)2(2
--x x . 又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋3
1-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4.
9.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.
（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；
（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）的图象，
若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.
解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点，
∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.
∴－2k =32+k .∴k =－3.
∴f （x ）=3x －3.
∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.
（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）=log 3x （x ＞
0），要使2 f －
1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +
x m +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +x
m +2m ）min ≥3. 又x +x m ≥2m （当且仅当x =x m ，即x =m 时等号成立），∴（x +x
m +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥16
9.。