2007年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理工类)第I 卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)“1x >”是“2x x >”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件(2)若函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R (其中0ω>,2ϕπ<)的最小正周期是π,且(0)f =)A .126ωϕπ==, B .123ωϕπ==, C .26ωϕπ==,D .23ωϕπ==,(3)直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是( ) A.210x y +-= B.210x y +-= C.230x y +-=D.230x y +-=(4)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是( ) A.3 B.4 C.5 D.6(5)已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ,,(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ=≤( ) A .0.16 B .0.32 C .0.68 D ,0.84 (6)若P 两条异面直线l m ,外的任意一点,则( ) A.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都平行 B.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都垂直 C.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都相交 D.过点P 有且仅有一条直线与l m ,都异面 (7)若非零向量,a b 满足+=a b b ,则( ) A.2>2+a a b B.22<+a a b C.2>+2b a bD. 22<+b a b(8)设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )(9)已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是准线上一点,且12PF PF ⊥,124PF PF ab = ,则双曲线的离心率是( )C.2D.3(10)设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩,≥,,,()g x 是二次函数,若(())f g x 的值域是[)0+,∞,则()g x 的值域是( )A .(][)11--+ ∞,,∞B .(][)10--+ ∞,,∞C .[)0+,∞D .[)1+,∞第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. (11)已知复数11i z =-,121i z z =+ ,则复数2z = . (12)已知1sin cos 5θθ+=,且324θππ≤≤,则cos 2θ的值是 . (13)不等式211x x --<的解集是 .(14)某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种,小张用10元钱买杂志(每种至多买一本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数是 (用数字作答). (15)随机变量ξ的分布列如下:A .B .C .D .其中a b c ,,成等差数列,若13E ξ=,则D ξ的值是 . (16)已知点O 在二面角AB αβ--的棱上,点P 在α内,且45POB ∠=.若对于β内异于O 的任意一点Q ,都有45POQ ∠ ≥,则二面角AB αβ--的大小是.(17)设m 为实数,若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥,≥,≤≥,则m 的取值范围是 .三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (18)(本题14分)已知ABC △1,且sin sin A B C +=. (I )求边AB 的长;(II )若ABC △的面积为1sin 6C ,求角C 的度数.(19)(本题14分)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC BC ⊥,且2A C B C B D A E ===,M 是AB 的中点.(I )求证:CM EM ⊥;(II )求CM 与平面CDE 所成的角.(20)(本题14分)如图,直线y kx b =+与椭圆2214xy +=交于A B ,两点,记AOB △的面积为S .(I )求在0k =,01b <<的条件下,S 的最大值; (II )当2AB =,1S =时,求直线AB 的方程.(21)(本题15分)已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -,是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根,且212(123)k k a a k -= ≤,,,.(I )求1a ,2a ,3a ,7a ; (II )求数列{}n a 的前2n 项和2n S ; (Ⅲ)记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,E DCMA(第19题)(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…, 求证:15()624n T n ∈*N ≤≤. (22)(本题15分)设3()3x f x =,对任意实数t ,记232()3t g x t x t =-.(I )求函数()()t y f x g x =-的单调区间;(II )求证:(ⅰ)当0x >时,()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立; (ⅱ)有且仅有一个正实数0x ,使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立.2007年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理工类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分. (1)A (2)D (3)D (4)B (5)A (6)B (7)C (8)D (9)B (10)C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分28分. (11)1 (12)725- (13){}02x x << (14)266(15)59(16)90(17)403m ≤≤三、解答题(18)解:(I)由题意及正弦定理,得1AB BC AC ++=,BC AC +=,两式相减,得1AB =. (II )由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ,得13BC AC = , 由余弦定理,得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== , 所以60C =.(19)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分14分. 方法一:(I )证明:因为AC BC =,M 是AB 的中点, 所以CM AB ⊥. 又EA ⊥平面ABC , 所以CM EM ⊥.(II )解:过点M 作MH ⊥平面CDE ,垂足是H ,连结CH 交延长交ED 于点F ,连结MF ,MD .FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角. 因为MH ⊥平面CDE ,所以MH ED ⊥, 又因为CM ⊥平面EDM , 所以CM ED ⊥,则ED ⊥平面CMF ,因此ED MF ⊥.设EA a =,2BD BC AC a ===,在直角梯形ABDE 中,AB =,M 是AB 的中点,所以3DE a =,EM =,MD =, 得EMD △是直角三角形,其中90EMD =∠,所以EM MDMF DE== .在Rt CMF △中,tan 1MFFCM MC==∠, 所以45FCM =∠,故CM 与平面CDE 所成的角是45. 方法二:如图,以点C 为坐标原点,以CA ,CB 分别为x 轴和y 轴,过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴,建立直角坐标系C xyz -,设E A a =,则(2)A a 00,,,(020)B a ,,,(20)E a a ,,.(022)D a a ,,,(0)M a a ,,.(I )证明:因为()EM a a a =-- ,,,(0)CM a a =,,, 所以0EM CM =, 故EM CM ⊥.EDC MABE H(II )解:设向量001y z (),,n =与平面CDE 垂直,则CE ⊥ n ,CD ⊥n , 即0CE = n ,0CD = n .因为(20)CE a a = ,,,(022)CD a a = ,,, 所以02y =,02x =-,即(122)=-,,n ,cos 2CM CM CM ==,n n n, 直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM夹角的余角,所以45θ=,因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45.(20)本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.(Ⅰ)解:设点A 的坐标为1()x b ,,点B 的坐标为2()x b ,,由2214x b +=,解得12x =±, 所以1212S b x x =-2b =2211b b +-=≤.当且仅当b =时,S 取到最大值1. (Ⅱ)解:由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,, 得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,2241k b ∆=-+,11||||AB x x =-2214k ==+ . ②设O 到AB 的距离为d ,则21||Sd AB ==,又因为d =所以221b k =+,代入②式并整理,得42104k k -+=, 解得212k =,232b =,代入①式检验,0∆>,故直线AB 的方程是22y x =+或22y x =-或22y x =+,或22y x =-.21.本题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.满分15分. (I )解:方程2(32)320kkx k x k -++= 的两个根为13x k =,22k x =, 当1k =时,1232x x ==,, 所以12a =;当2k =时,16x =,24x =, 所以34a =;当3k =时,19x =,28x =, 所以58a =时;当4k =时,112x =,216x =, 所以712a =.(II )解:2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-.(III )证明:(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++, 所以112116T a a ==, 2123411524T a a a a =+=. 当3n ≥时,(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++, 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥ 2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥ 1116626n =+> , 同时,(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 515249224n =-< . 综上,当n ∈N *时,15624n T ≤≤. 22.本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分15分.(I )解:316433x y x =-+. 由240y x '=-=,得2x =±.因为当(2)x ∈-∞-,时,y '>0, 当(22)x ∈-,时,0y '<, 当(2)x ∈+∞,时,0y '>, 故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-,,(2)+∞,, 单调递减区间是(22)-,. (II )证明:(i )方法一:令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>,则 223()h x x t '=-,当0t >时,由()0h x '=,得13x t =, 当13()x x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(0)+∞,内的最小值是13()0h t =. 故当0x >时,()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立. 方法二:对任意固定的0x >,令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->,则 11332()()3h t t x t -'=-,由()0h t '=,得3t x =. 当30t x <<时,()0h t '>. 当3t x >时,()0h t '<,所以当3t x =时,()h t 取得最大值331()3h x x =. 因此当0x >时,()()f x g x ≥对任意正实数t 成立. (ii )方法一:8(2)(2)3t f g ==. 由(i )得,(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立.即存在正实数02x =,使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立. 下面证明0x 的唯一性: 当02x ≠,00x >,8t =时,300()3x f x =,0016()43x g x x =-,由(i )得,30016433x x >-, 再取30t x =,得30300()3x x g x =,所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=, 即02x ≠时,不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立. 故有且仅有一个正实数02x =,使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立. 方法二:对任意00x >,0016()43x g x x =-, 因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ,所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是:300161433x x -≥,即200(2)(4)0x x -+≤, ① 又因为00x >,不等式①成立的充分必要条件是02x =, 所以有且仅有一个正实数02x =, 使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立.。