2021年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共10题；共40分）1.设集合A={x|x≥1}，B={x|−1<x<2}，则A∩B=（）A. {x|x>−1}B. {x|x≥1}C. {x|−1<x<1}D. {x|1≤x<2}【答案】 D【考点】交集及其运算【解析】【解答】由交集的定义结合题意可得：A∩B={x|1≤x<2}.故答案为：D.【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。

2.已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A. -1B. 1C. -3D. 3【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】(1+ai)i=i−a=−a+i，利用复数相等的充分必要条件可得：−a=3,∴a=−3.故答案为：C.【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。

3.已知非零向量a⃗,b⃗⃗,c⃗，则“ a⃗⋅c⃗=b⃗⃗⋅c⃗”是“ a⃗=b⃗⃗”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【考点】充分条件，必要条件，充要条件，平面向量数量积的运算【解析】【解答】若a⃗⋅c⃗=b⃗⃗⋅c⃗，则(a⃗−b⃗⃗)⋅c⃗=0，推不出a⃗=b⃗⃗；若a⃗=b⃗⃗，则a⃗⋅c⃗=b⃗⃗⋅c⃗必成立，故“ a⃗⋅c⃗=b⃗⃗⋅c⃗”是“ a⃗=b⃗⃗”的必要不充分条件故答案为：B.【分析】先将条件等式变形，可能得到条件不充分，后者显然成立。

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 32 B.3 C. 3√22D. 3√2 【答案】 A【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】几何体为如图所示的四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 ，其高为1，底面为等腰梯形 ABCD ，该等腰梯形的上底为 √2 ，下底为 2√2 ，腰长为1，故梯形的高为 √1−12=√22，故 V ABCD−A 1B 1C 1D 1=12×(√2+2√2)×√22×1=32，故答案为：A.【分析】先由三视图，还原立体图形，然后根据数量关系计算体积。

5.若实数x ， y 满足约束条件 {x +1≥0x −y ≤02x +3y −1≤0 ，则 z =x −12y 的最小值是（ ）A. -2B. −32 C. −12 D. 110 【答案】 B【考点】简单线性规划【解析】【解答】画出满足约束条件 {x +1≥0x −y ≤02x +3y −1≤0 的可行域，如下图所示：目标函数 z =x −12y 化为 y =2x −2z ，由 {x =−12x +3y −1=0 ，解得 {x =−1y =1 ，设 A(−1,1) ， 当直线 y =2x −2z 过 A 点时， z =x −12y 取得最小值为 −32 . 故答案为：B.【分析】先画出可行域，然后由目标函数，作出直线 y =2x −2z ，当直线过 A 点时，得到最优解，从而计算出结果。

6.如图已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 ，M ， N 分别是 A 1D ， D 1B 的中点，则（ ）A. 直线 A 1D 与直线 D 1B 垂直，直线 MN// 平面 ABCDB. 直线 A 1D 与直线 D 1B 平行，直线 MN ⊥ 平面 BDD 1B 1C. 直线 A 1D 与直线 D 1B 相交，直线 MN// 平面 ABCDD. 直线 A 1D 与直线 D 1B 异面，直线 MN ⊥ 平面 BDD 1B 1 【答案】 A【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】连 AD 1 ，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，M是A1D的中点，所以M为AD1中点，又N是D1B的中点，所以MN//AB，MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B,D不正确；在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，AD1∩AB=A，所以A1D⊥平面ABD1，D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D,D1B是异面直线，所以选项B错误，选项A正确.故答案为：A.【分析】对于A：连AD1,根据三角形的中位线定理，得到MN//AB，，所以A正确；对于B：若（１）知直线MN//AB，若MN⊥平面BDD1B1,则MN⊥BD，从而A AB⊥BD，这显然不正确，所以B不正确；对于C：显然，直线A1D与直线D1B是异面直线，故C错误；对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。

7.已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是（）A. y=f(x)+g(x)−14B. y=f(x)−g(x)−14C. y=f(x)g(x)D. y=g(x)f(x)【答案】 D【考点】函数的图象与图象变化【解析】【解答】对于A ， y =f(x)+g(x)−14=x 2+sinx ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ， y =f(x)−g(x)−14=x 2−sinx ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ， y =f(x)g(x)=(x 2+14)sinx ，则 y ′=2xsinx +(x 2+14)cosx ，当 x =π4 时， y ′=π2×√22+(π216+14)×√22>0 ，与图象不符，排除C.故答案为：D.【分析】由A,B 解析式都是非奇非偶函数，可以判断A,B 错；对于C ，先对 y =f(x)g(x)=(x 2+14)sinx 求导，然后计算当x =π4 时，ｆ／（π4 ）＞０，与图不符合，所以C 错，故选D.8.已知 α,β,γ 是互不相同的锐角，则在 sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα 三个值中，大于 12 的个数的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】 C【考点】正弦函数的定义域和值域，余弦函数的定义域和值域 【解析】【解答】法1：由基本不等式有 sinαcosβ≤sin 2α+cos 2β2，同理 sinβcosγ≤sin 2β+cos 2γ2， sinγcosα≤sin 2γ+cos 2α2，故 sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32 ， 故 sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα 不可能均大于 12 . 取 α=π6 ， β=π3 ， γ=π4 ，则 sinαcosβ=14<12,sinβcosγ=√64>12,sinγcosα=√64>12，故三式中大于 12 的个数的最大值为2， 故答案为：C.法2：不妨设 α<β<γ ，则 cosα>cosβ>cosγ,sinα<sinβ<sinγ ， 由排列不等式可得：sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα ， 而 sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα=sin(γ+α)+12sin2β≤32 ， 故 sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα 不可能均大于 12 .取α=π6，β=π3，γ=π4，则sinαcosβ=14<12,sinβcosγ=√64>12,sinγcosα=√64>12，故三式中大于12的个数的最大值为2，故答案为：C.【分析】先由基本不等式ab≤(a+b2）得出三个积sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα的取值范围，就可以得到结果。

9.已知a,b∈R,ab>0，函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s−t),f(s),f(s+t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是（）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线【答案】C【考点】等比数列，平面向量的综合题【解析】【解答】由题意得f(s−t)f(s+t)=[f(s)]2，即[a(s−t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2，对其进行整理变形：(as2+at2−2ast+b)(as2+at2+2ast+b)=(as2+b)2，(as2+at2+b)2−(2ast)2−(as2+b)2=0，(2as2+at2+2b)at2−4a2s2t2=0，−2a2s2t2+a2t4+2abt2=0，所以−2as2+at2+2b=0或t=0，其中s2ba−t22ba=1为双曲线，t=0为直线.故答案为：C.【分析】由三个数成等差数列，列出等式，推导结果。

10.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=n1+a ∈N∗).记数列{an}的前n项和为S n，则（）A. 12<S100<3 B. 3<S100<4 C. 4<S100<92D. 92<S100<5【答案】A【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列，等比数列的通项公式【解析】【解答】因为a1=1,a n+1=n1+a ∈N∗)，所以an>0，S100>12．由a n+1=n1+√a ⇒1a n+1=1a n+√a=(√a+12)2−14∴1a n+1<(a+12)2⇒√a<a12，即√a a<12根据累加法可得，a ≤1+n−12=n+12，当且仅当n=1时取等号，∴a n≥4(n+1)2∴a n+1=n 1+a ≤a n1+2n+1=n+1n+3a n∴a n+1a n ≤n+1n+3⇒a n≤6(n+1)(n+2)，当且仅当n=1时取等号，所以S100≤6(12−13+13−14+14−15+⋯+1101−1102)=6(12−1102)<3，即12<S100<3．故答案为：A．【分析】由递推公式，冼先得到S100>12，进一步推导出a a<12，然后用累加法等推导出S100<3。

二、填空题（共7题；共36分）11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则S1S1=________.【答案】25【考点】三角形中的几何计算【解析】【解答】由题意可得，大正方形的边长为：a=√32+43=5，则其面积为：S1=52=25，小正方形的面积：S2=25−4×(12×3×4)=1，从而S2S1=251=25.故答案为：25.【分析】由勾股定理及三角形面积公式求解。