比例一、知识要点1、基本概念(1)两个数相除,又叫做这两个数的比,“∶”是比号,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项,前项除以后项所得的商叫做比值。
比的后项不能为0。
(2)分数的基本性质∶分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
乘积是1的两个数互为倒数。
1的倒数是1,0没有倒数。
(3)商不变的规律∶在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍(0除外),商不变。
(4)比的基本性质∶比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数(0除外),它们的比值不变。
(5)小数的性质∶在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
(6)公因数只有1的两个数叫做互质数。
如(5和7,7和9,8和9)最简整数比∶比的前项和后项是互质数。
(7)比的化简∶用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。
(8)比例∶①表示两个比相等的式子叫做比例。
如∶(3∶4=9∶12)。
比例有四个项,分别是两个内项和两个外项。
在3∶4=9∶12中,其中3与12叫做比例的外项,4与9叫做比例的内项。
比例的四个数均不能为0。
(9)比例的基本性质∶在一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积。
(10)比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。
2、正比例∶两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
(1)用字母表示∶xy = k (一定) (2)正比例关系两种相关联的量的变化规律∶同时扩大,同时缩小,比值不变。
例如∶汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例。
路程例如∶ = 速度时间速度 × 时间 = 路程路程= 时间速度当速度一定时,路程和时间成正比例关系当路程一定时,速度和时间成反比例关系当时间一定时,路程和速度成正比例关系3、反比例∶两种相关联的量一种量变化,另种量也随着变化,如果这两种量中,相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做成反比例关系。
(1)用字母表示∶xy=k (一定)(2)反比例关系的两种相关联的量的变化规律:是一种量扩大,另一种量缩小,一种量缩而另一种量则扩大,积不变。
例如:图上距离一定,实际距离和比例尺是否成反比例。
4、正比例和反比例的比较5、比例尺(1)比例尺是一幅图的图上距离与实际距离的比。
公式为∶比例尺=图上距离∶实地距离 或 比例尺=实际距离图上距离 比例尺有两种表示方法:数值比例尺和线段比例尺。
两种种表示方法可以互换。
(2)比例尺的表现方式∶①数值比例尺∶用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。
例如:地图上1厘米代表实地距离500千米,可写成∶1∶50,000,000或写成∶500000001。
②线段比例尺∶在地图上画一条线段,并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
例如:二、练习1、求比值 1452∶0.72 74∶171 321∶231 2、化简比 751∶0.24 12.6∶0.4 201∶151 3、解比例25:7=X:35 514: 35= 57:x 23:X= 12∶ 14X ∶0.75= 81∶25 X ∶154=31∶1.5 21∶51=41∶X 531∶0.4=272∶X 2.8∶54=0.7∶X 25.025.1=6.1X 4、填空1. 甲乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙两数和的)()(,乙数占甲、乙两数和的)()(。
甲、乙两数的比是3:2,甲数是乙数的( )倍,乙数是甲数的)()(。
2. 某班男生人数与女生人数的比是43,女生人数与男生人数的比是( ),男生人数和女生人数的比是( )。
女生人数是总人数的比是( )。
3. 一本书,小明计划每天看72,这本书计划( )看完。
4. 一根绳长2米,把它平均剪成5段,每段长是)()(米,每段是这根绳子的)()(。
5. 王老师用180张纸订5本本子,用纸的张数和所订的本子数的比是( ),这个比的比值的意义是( )。
6. 一个正方形的周长是58米,它的面积是( )平方米。
7. 89吨大豆可榨油31吨,1吨大豆可榨油( )吨,要榨1吨油需大豆( )吨。
8. 甲数的32等于乙数的52,甲数与乙数的比是( )。
9. 把甲数的71给乙,甲、乙两数相等,甲数是乙数的)()(,甲数比乙数多)()(。
10. 甲数比乙数多41,甲数与乙数比是( )。
乙数比甲数少)()(。
11. 在6 ∶5 = 1.2中,6是比的( ),5是比的( ),1.2是比的( )。
在4 ∶7 =48 ∶84中,4和84是比例的( ),7和48是比例的( )。
12. 4 ∶5 = 24÷( )= ( ) ∶1513. 一种盐水是由盐和水按1 ∶30 的重量配制而成的。
其中,盐的重量占盐水的(—),水的重量占盐水的(—)。
图上距离3厘米表示实际距离180千米,这幅图的比例尺是( )。
一幅地图的比例尺是图上6厘米表示实际距离( )千米。
实际距离150千米在图上要画( )厘米。
14. 12的约数有( ),选择其中的四个约数,把它们组成一个比例是( )。
写出两个比值是8的比( )、( )。
15. 加工零件的总个数一定,每小时加工的零件个数的加工的时间( )比例;订数学书的本数与所需要的钱数( )比例;加工零件的总个数一定,已经加工的零件和没有加工的零件个数( )比例。
16. 如果x ÷y = 712 ×2,那么x 和y 成( )比例;如果x:4=5:y ,那么x 和y 成( )比例。
5、应用题1. 建筑工人用水泥、沙子、石子按2∶3∶5配制成96吨的混凝土,需要水泥、沙子、石子各多少吨?2. 一个县共有拖拉机550台,其中大型拖拉机台数和手扶拖拉机台数的比是 3∶8,这两种拖拉机各有多少台?3 (正)一个晒盐场100克海水可以晒出3克盐 如果一块盐田一次放入585000吨海水可以晒出多少吨盐?4 (正)一辆车去时每小时行60千米 6.5小时到达目的地 回来时每小时行78千米 多长时间能够返回出发点?5 (反) 修一条水渠每天工作6小时12天可以完成 如果工作效率不变每天工作8小时多少天可以完成任务?6 (反)学校举行团体操表演如果每列25人 要排24列 如果每列20人 要排多少列?讲义∶比和比例的应用(1)、分数形式这种形式的题目是它把比写成分数形式,这样迷惑学生。
例、六(1)班有50人其中女生是男生的2/3,男生和女生各多少人解析∶32=2﹕3,把分数改写成比的形式,就很容易“按比例分配”了。
32=2﹕3 2+3=5500×52=20(人) 500×53=30(人) 法二∶设男生有x 人,则女生有32x 人,根据题意∶ x+32x=50 35x=50 x=3050-30=20(人)(2)、总量不明显这种题目是待分配的总量不明显,需要先求出总量。
例、甲乙丙三人共同生产100个零件,甲完成了三成,乙和丙完成的数量比是2:5,乙和丙各完成多少个解析∶现已知乙丙完成的数量之比,只要找到他们两个完成的总数,就很容易“按比例分配”了。
100×(1-103)=70(个) 2+5=7 70×72=20(个) 70×75=50(个) (3)、比不明显在这种形式的题目中,几个项的比不明显,只有先找到几个项的比,才能够“按比例分配”。
例、一个车间有职工70人,男职工比女职工少25%,男职工和女职工各有多少人?解析∶在本题中,只要我们找到男职工和女职工的数量之比,就很容易“按比例分配”求出男职工和女职工各有多少人了。
我们先把女职工看做单位“1”,那么,男职工就可以表示为1-25%。
1-25%=75%=43 43﹕1=3﹕4 3+4=770×73=30(人) 70×74=40(人) 再如,一批零件共200个,由甲乙丙三个工人生产,甲乙两人生产的零件数之比是3﹕4,甲比丙多生产30个,他们三人各生产多少个?解析∶甲比丙多生产30个,如果丙再生产30个,则他生产的零件数就和甲的一样多。
这样,在总数上加上30个,就容易“按比例分配”了。
3+4+3=10(200+30)×103=69(个)——甲 (200+30)×104=92(个)——乙 69-30=39(个)——丙(4)、已知比的某一项的具体量,求另一项的具体量这种题型是已知两个量的比,并且知道比的前项或后项的具体量,求另一项的具体量。
例、小红读一本故事书,已读的和未读的页数的比是2﹕7,已经读了24页,还剩下多少页?解析∶已经读了24页,站2份,就可以先求出每份是多少页。
24÷2=12(页)12×7=84(页)(5)、需要合并比在一些题目中,已知几个量的某几项的比,但这些比是分离的,则需要把几个比合并为一个比。
例、一段公路长340千米,由甲、乙、丙三个工程队修,甲工程队与乙工程队完成的长度之比是2﹕3,甲工程队完成的是丙的74,甲、乙、丙三个工程队各完成多少千米? 解析∶在本题中,我们知道甲、乙两个工程队完成的长度之比,同时知道甲、丙两个工程队完成的长度之比,如果把这两个比合并为一个比,就很容易“按比例分配”了。
74=4﹕7 2﹕3=4﹕6甲﹕乙﹕丙=4﹕6﹕74+6+7=17甲∶340×174=80(千米) 乙∶340×176=120(千米) 丙∶340×177=140(千米)。