结构非线性分析的有限单元法
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
⑤ 重新计算位移增量,进而计算单元应变增量和等 效应变增量,依次修改相应的m值。重复以上④~⑤步骤 计算过程,一般修改m值2~3次即可 ⑥ 计算位移和应力增量,并将位移、应变、应力增 量迭加到增量作用前的水平上。 ⑦ 重复④~⑥步骤计算过程,直至完成所 有的增量步。
e v 1 2 E
粘 弹 性 元 件
式中
——粘性系数,
v ——蠕变应变。
粘弹性元件并联——开尔文 (Voigt— Kelvin)模型,一般描 述材料的蠕变特性。其特点
1 2 e v E
1
一般情况下,
故可得其解为
n1 n n1
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
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5.2.3 载荷增量法
, K T P 0
对于应力已超过屈服应力的单元,单元刚度矩阵
返 回 章 节 目 录
k P 按弹塑性 刚度矩阵计算。
k P V B T DP B dV
一般过渡单元刚度矩阵为
kt V BT Dt B dV
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式23
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5.4.2 几何非线性有限元分析
由虚功原理
K P
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(a) 非线性弹性问题
(b) 弹塑性问题
(c) 理想塑性问题
(d) 强化塑性问题
图10-6 材料非线性问题
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(3)蠕变与应力松弛问题 在一定温度范围内,材料在固定温度和不变载荷作 用下,其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。
,
为载荷因子,用来描述载荷变化的参数, 对应于
对应于 ,则 , 0
上式的泰勒展开式为
, ,
非线性方程组 0 在 n 附近的近似
n
F 0
线性方程组为
F n 0
n 1 F n n
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.1 非线性问题分类及求解 5.2 非线性问题求解方法 5.3 材料非线性 5.4 几何非线性 5.5 边界非线性 5.6 非线性弹性稳定性问题 5.7非线性分析特点 5.8 ANSYS非线性结构计算示例 5.9ANSYS稳定性计算示例
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图10-8 几何非线性问题
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几何非线性问题比线性问题复杂得多,非线性问题与 线性问题主要不同之处如下。 a.对于大位移、小应变问题,虽然应力应变关系是 线性关系,但计算应变位移关系时,位移的高阶导数项的 影响不能够忽略,因而应变与位移呈现非线性关系。 b.对于有限变形问题,即大位移、大应变的情况, 应力——应变关系也是非线性的。 c.几何非线性问题的平衡方程组,建立在结构变形 后的位形状态上,而这个位形状态在求解过程中总是变 动的。 d.随着有限位形的变化,材料的本构方程亦发生变 化。采用不同的参考位形将得出不同的本构方程式。
5.1.2 非线性问题求解
非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题 基本相同,不过求解时需要多次反复迭代,基本三大 步骤如下: (1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同,仅为材 料非线性时, 使用材料的非线性物理(本构)关系。 仅 为几何非线性时, 在计算应变位移转换矩阵[B]时, 应该 考虑位移的高阶微分的影响。 同时, 具有材料和几何非 线性的问题,受到两种非线性特性的藕合作用。
5.1 非线性问题分类及求解
5.1.1 非线性问题分类
当材料是线弹性体,结构受到载荷作用时,其产生 的位移和变形是微小的,不足以影响载荷的作用方向 和受力特点。静力平衡方程表示为:
K P
其基本方程的特点如下:
a.材料的应力与应变,即本构方程为线性关系。 b.结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c.结构的平衡方程属于线性关系,且平衡方程建立于结 构变形前,即结构原始状态的基础之上。 d. 结构的边界(约束)条件为线性关系。
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图10-5 载荷增量法的几何意义
5.3 材料非线性
5.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 (1)非线性弹性问题 (2)弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同,即表现为
D D
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K BT D BdV
不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。
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习惯上将不满足条件a的称为材料非线性;不能够满 足条件b、c的称为几何非线性;不满足条件d的称为边界 非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为 混合非线性问题 。 对于上述非线性问题总可归结为两大 类,即材料非线性和几何非线性。
将平衡方程写成如下迭代格式
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KT n n1 P 0
具体迭代过程简述如下 取初始值 0
5
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则得到
KT 0 KT 0
1 K T 0 1 P
3
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(2) 整体刚度矩阵集成
整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理, 与线性问题求解相似 。 (3) 非线性平衡方程求解 对于几何非线性问题,平衡方程必须建立在变形后 的位置,严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态 上,简称为位形状态。因而,非线性问题的平衡方程表 为 KT P
— —当 s时的瞬时应变
粘 塑 性 元 件
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5.3.3 弹塑性问题有限元分析
(1) 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵可分成三种情况来考虑,即弹性阶段、 过渡阶段和弹塑性阶段。
对于应力处于弹性阶段的单元,单元刚度矩阵 k e 按弹性问题处理
k e V B T DB dV
粘性 元件
高温环境下 的金属材料、 地壳岩石等。
t ——时间
理想塑性 塑性 元件 强化塑性 式中
s
s
s s H
( 0)
( 0) (>0)
——屈服应力,
H——塑性强化模量。
岩石在承受 的荷载超过 一定值时, 如较高的围 岩压力时表 现出理想塑 性特性。
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弹塑性变形时总应变包括 两部分。
弹塑 性 元件
e p
式中 e ——弹性应变,
p ——塑性应变。 加载时使用增量理论。
应力足够大 时的金属、 岩石、土壤。
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粘弹性元件串联——麦克斯韦 尔(Maxwll)模型,一般描述材 料的松弛特性。其特点
令 得 则有
KT KT ,
P
KT P 0
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或为 K T 1 P 假设将载荷因子 分为m个增量,并设
0 0 1 2 m 1
KT P
按照增量法求解时,步骤如下。 ① 首先求出全部载荷向量 P 作用之下的弹性解 e
量
② 计算由于弹性解 e 产生的相应等效应力 e ,计算各单元由此产生的应变增 ③ 施加载荷增量 P
e
④ 根据每个单元的变形状态(弹性、塑性或弹塑过 渡区),计算其单元刚度矩阵,集成形成总体刚度矩阵。
⑧ 作卸载计算,求出残余应力和残余应变。 ⑨ 输出计算结果。
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5.4 几何非线性
5.4.1 几何非线性特征
几何非线性问题又可分为两大类,即大位移、小应 变问题和大位移、大应变问题。
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(a) 大位移、小应变问题
(b) 大位移、大应变问题
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得到改进解
重复上述过程,总结得出近似递推公式
K T n K T n
n1 K T 1 P n
以一维非线性问题为例, 直接迭代法的几何意义见图 10-2。
图10-2 直接迭代法的几何意义
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5.2.2 牛顿—拉裴逊(Newton—Raphson)法
n1 n
有 相应载荷为
n 1
m
n
1
Pn n P Pn Pn1 Pn n P
1
则方程组的迭代公式为 n K T n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时,迭代终止。
求解时,一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼 近的方法求之。即
K T P 0
求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增 量法两大类。
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图10-1 位形描述示意图
5.2 非线性问题求解方法
5.2.1 直接迭代法
应力仅为应变的 函数,加卸载规 律相同。 在应力充分小的 { } D } { 情况下几乎包括 对于线弹性材料 所有材料例如, [D]]是常数,非 金属、岩石、玻 线弹性材料[D] 璃、木材。 是位移向量 的 函数。