3.动点问题题型方法归纳标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII动点问题知识点：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论简单题。

3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形直角梯形等腰梯形（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

二．特殊四边形边上动点4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A CB →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A BCD →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；（3）求y 与x 之间的函数关系式．提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（3-，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒S≠），点P的运动时间为的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（0t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。

利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，C （0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．(1)求∠ABC的度数；(2)当t为何值时，AB∥DF；(3)设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<23时，求m的取值范围(写出答案即可)．注意：发现特殊性，DE∥OA7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设(08)t t<≤秒后，直线PQ交OB于点D.（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（3）当43,33a OD==时，求t的值及此时直线PQ的解析式；（4）当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆相似当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆不相似请给出你的结论，并加以证明.8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；（4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线21410189y x x=--与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形请写出计算过程;(3)当0＜t＜92时,△PQF的面积是否总为定值若是,求出此定值, 若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形请写出解答过程．提示：第（3）问用相似比的代换，得PF=OA（定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.三．直线上动点8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．提示：第（2）问发现特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°特殊图形四边形BNPM 为菱形；第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。

9、（2009眉山）如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC 的值最大，求出点M 的坐标。

提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P ，②A 为直角顶点时，过点A 作AE 垂线交x 轴于点P ，③E 为直角顶点时，作法同②；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

10、（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．注意：第（4）问按点P 分别在AB 、BC 、CD 边上分类讨论；求t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。