6. 原子状态跃迁的三种方式为
，
， 和 ，
。 ， 和 ；而表示
7. 描述量子状态的波函数的标准条件是
力学量的算符应是
8. 波函数的统计解释是
算符， 这样才有物理意义。 。 ， 具有连续本征谱的波函
9. 具有分离本征谱的波函数归一化条件为
数归一化条件是
。 ，若力学量 。 ，分为 和
10. 若力学量算符 F 和 G 满足 [F , G] = 0，则其物理含义是
成都信息工程学院 量子力学试题精选（理工类）
注意事项：
1. 本试题精选仅供学习量子力学使用。 2. 本试题精选共 80 道试题。打星号的试题供学有所余的学生选作。 3. 不清楚的请向刘文莉老师请教。 4. 务必对照习题认真复习。
一、 填空题
1. 量子力学中， 体系状态用
。描述， 力学量用
表示。 算符代表的力学 ， 取值几率为
72. * 沿 x 轴作一维运动的微观粒子， 描述其运动状态的波函数为 Ψ(x) = 0求 (1) 归一化的波函数； (2) 粒子坐标几率分布函数； (3) 在何处找到粒子的几率最大， 最大值为多少。
Axe−λx , 0,
x
0
， λ>
x<0
7
73. * 在 L2 和LZ 的共同表象中，算符 Lx 和Ly 的矩阵分别为 Lx = Ly =
参考答案
1. 波函数； 算符。 2. 能量； 哈米顿； 能量。 3. r； −i ∇。 4. i
∂ r ∂t ；
ˆ = −i r × ∇。 ×p
5. 对称； 反对称。 6. 受激辐射跃迁；自发辐射跃迁；吸收跃迁。 7. 单值； 连续；有限；厄密。 8. 在 t 时刻， 某点 r 附近单位体积内出现粒子的几率等于体系波函数模的平方， 即 |Ψ(r, t)|2 。 9. Ψ∗ Ψdτ = 1; Ψ∗ λ Ψλ dτ = δ (λ − λ)
和
有确切取值， 其值分别为
， 和
和
。 。 。 。
15. 光谱线跃迁的选择定则是 16. 玻尔的量子化条件为 17. 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为
18. ψ (r, θ, ϕ) 为归一化波函数， 粒子在 (θ, ϕ) 方向、 立体角 dΩ 内出现的几率为
， 在半径为 r， 厚度为 dr 的球壳内粒子出现的几率为
2
66. 已知体系在未受微扰时有两个能级 E1 , E2 ， 现在受微扰 H 的作用， H 的矩阵元为 H11 = H22 = b, H12 = H21 = a， 求 (1) 能量表象中无微扰时体系能量算符H (0) ，微扰算符 H ，受微扰时总能量算符 H 的矩
(0)
(0)
阵形式；
(2) 受微扰时两能级至二级修正的值。
√ 2 2

0 1 √ 2 2 1 0 0 1
0 1 和 0
0 −i 0 i 0 −i 0 i 0
求它们的本征值和归一化本征函数。
74. * 一维运动粒子的状态是Ψ(x) = (1) 粒子动量的几率分布函数， (2) 粒子的平均动量。
是定态波函数。
65. 氢原子处于 Ψ(r, θ, ϕ) = 1 2 R2,1 Y1,0 − (1) 氢原子的能量值 En ；
√
3 2 R2,1 Y1,−1
态中， 求
(2) 角动量平方 L2 的可能取值， 对应几率， 以及角动量平方的平均值L ； (3) 角动量在 z 轴投影量 Lz 的可能取值， 对应几率， 以及 z 轴投影量 Lz 的平均值Lz 。
5
67. 已知在 Sz 表象中，自旋投影算符 Sx 和 Sy 的矩阵形式为 Sx =
2 2

0 1 ， S y = 1 0
0 −i 求在 Sz 表象中 ， i 0
(1) 自旋投影算符 Sz 的矩阵形式； (2) Sx ， Sy 和Sz 的本征值； ˆy 和 Sz 的本征函数。 (3) 算符Sx ， S
29. ψnlm (r, θ, ϕ) = Rnl (r)Ylm θ, ϕ 为氢原子的波函数，n, l, m 的取值范围分别为
、
。
30. 设体系的状态波函数为 |ψ ，如在该状态下测量力学量 F 有确定的值 λ，则力学量算符 F
与态矢量 |ψ 的关系为
。
2
31. 力学量算符 F (r, −i ∇) 在态 Ψ(r) 下的平均值可写为
三、 计算题
63. 沿 x 轴作一维运动的微观粒子， 描述其运动状态的波函数为 Ψ(x) = (1) 归一化的波函数； (2) 粒子坐标几率分布函数； (3) 在何处找到粒子的几率最大， 最大值为多少。
A 求 1+ix ，
4
64. 证明自由粒子波函数 ψ (r, t) = Ae
i
(p·r −Et)
8
76. 在动量表象中角动量 Lx 的矩阵元和 L2 x 的矩阵元。
77. 证明如算符 A 和 B 有共同的本征函数完备集， 则二算符对易。
78. 设 t = 0 时，粒子的状态为 ψ (x) = A sin2 kx +
1 2
cos kx ，求此时粒子的平均动量和平均动
能。
ˆ ˆ = x 79. 证明坐标算符 r ˆi + x ˆj + x ˆk = xi + y j + z k 三分量算符两两对易，动量算符 P = p ˆx i + p ˆy j + p ˆz k = −i
2. 当量子体系处于定态时，体系具有确定的
，也即体系的
量 。
有确切值。当量子体系处于定态时， 体系具有确定的
ˆ= 3. 在坐标表象中， 坐标算符 r 4. 能量算符 H =
ˆ= ， 动量算符 p
，
， 角动量算符 L =
。 波函数表示， 费米子体系态用
5. 对多粒子体系而言， 玻色子体系态用
波函数表示。
算符若力学量算符 F 和 G 满足 [F , G] = 0， 则表示
11. 全同粒子体系是指
体系。
1
12. 选择定则是指
，对氢原子而言，其选择定则用 和 和 。 。 ，
量子数表示为
13. 微观粒子波粒二象性的德布罗依关系式为
14. 当体系处于氢原子体系哈密顿算符的本征函数 Ψ 描述的态中时，力学量
∂ ∂x i
+
∂ ∂y j
+
∂ ∂z k
的三分量算符亦两两对易。
9
ˆ ˆ= x 80. 求坐标算符 r ˆi+ˆ xj +ˆ xk = xi+y j +z k 与动量算符 P = p ˆx i+ˆ py j +ˆ pz k = −i
∂ ∂x i
+
∂ ∂y j
+
∂ ∂z k
的三分量算符对易关系．
10
。
39. 费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有
；
玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有 。 Ψ1 (x, y, z ) ，则 40. 考虑自旋后，电子的波函数表示为 Ψ = （已归一化） Ψ2 (x, y, z ) 的意义为
∞ −∞
∞ −∞
|Ψ1 | dxdydz
2
； 。
|Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 dxdydz = 的意义为
Axe−λx , 0,
当x
0
其中 λ > 0， 求
当x < 0
（利用公式
∞ 0
xm e−αx dx =
m αm+1 ）
75. 设在 H 0 表象中， H 的矩阵表示为
0 E1 H= 0 a∗
0
0 E2
b∗
a b 0 E3
0 0 0 其中 E1 < E2 < E3 ， 试用微扰论求能级二级修正。
14. 能量、 角动量平方、 角动量 z 分量；2
+ 1)
2
、 m 。
15. ∆l = l − l = ±1, ∆m = m − m = 0, ±1, ∆s = 0。 16. L = mvr = n , n = 1, 2, · · · 。
2 17. Ek = 1 2 µvm = hν − W0 。 ∗ ∗ 18. Ylm (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ)dΩ = Ylm (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) sin θdθdϕ, 2 Rnl (r)r2 dr。
10. 对易； 不对易。 11. 质量、 电荷和自旋等性质完全相同的微观粒子；Fermi子；Bose子。 12. 描述微观粒子禁戒跃迁的量子数的取值条件； ∆l = l − l = ±1, ∆m = m − m = 0, ±1。 13. E = hν = ω ;
h k。 p= λ µe4 s l(l 2 n2 、
。
34. 原子跃迁的选择定则为 35. 自旋角动量与自旋磁矩的关系为 36. S 为自旋算符，则 S 2
，[S 2 , SZ ] =
，S 2 的本征值是
，[Sx , Sy ] =
。
37. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是
；
。
38. 轨道磁矩与轨道角动量的关系是
； 自旋磁矩与自旋角动量的关系是
68. 已知体系在未受微扰时有两个能级 E1 , E2 ， 现在受微扰 H 的作用， H 的矩阵元为 H11 = H22 = b, H12 = H21 = a， 求 (1) 能量表象中无微扰时体系能量算符 H (0) ，微扰算符 H ，有微扰时总能量算符 H 的矩
(0)
(0)
阵形式；
(2) 受微扰时两能级至二级修正的值。
式？
51. 什么是全同性原理和泡利不相容原理 52. 表明电子有自旋的实验事实有哪些？ 53. 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？ 54. 什么是塞曼效应， 对简单塞曼效应， 没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 55. 什么是斯塔克效应？ 56. 不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？ 57. 什么是定态？定态有什么性质？ 58. 简述力学量与力学量算符的关系？ 59. 轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？ 60. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的。 61. 简述波函数的统计解释， 为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。 62. 能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？