2008年数学各地中考压轴题汇编(一) 1.（25T）（2008广州）（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当4t≤≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值25．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是BDC∆＝3232221=⋅⋅图112.(28T)（佳木斯市）(本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，2310OB OA --=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．解：（1）2310OB OA --=Q230OB ∴-=，10OA -= ··········································· （1分） 3OB ∴=，1OA =Q 点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(10)(03)A B ∴，，， ··················································· （2分）（2）求得90ABC ∠=o ································································ （3分）23(03)3(3)t t S t t ⎧<⎪=⎨->⎪⎩ ≤（每个解析式各1分，两个取值范围共1分） ································· （6分）（3）1(30)P -，；22133P ⎛- ⎝，；34133P ⎛ ⎝，；4(323)P ，（每个1分，计4分） ···························································································· （10分）注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．3.(19T)（湖北黄岗罗田.本小题14分）如图，已知∆ABC 中，AB ＝a ，点D 在AB 边上移动（点D 不与A 、B 重合），DE //BC ，交AC 于E ，连结CD ．设S S S S ABC DEC ∆∆==，1．y xA O C B（1）当D 为AB 中点时，求S S 1：的值；（2）若AD x SSy ==，1，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在点D ，使得S S 114>成立？若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由． 19、解：（1）ΘDE BC D AB //，为的中点，21==∆∆∴AC AE AB AD ABC ADE ，∽．∴==S S AD AB ADE ∆()214ΘS S AE EC ADE ∆11==， ∴411=S S ． （2） ∵ AD ＝x ，y SS ＝1，∴ x xa AD DB AE EC S S ADE -＝＝＝△1． 又∵ 222ax AB AD S S ADE ＝＝△⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴ S △ADE ＝22a x ·S ∴ S 1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 22a xS ∴ 221a ax x S S +-=， 即y ＝－x a21＋x a 1自变量x 的取值范围是：0＜x ＜a ．（3）不存在点D ，使得S S 114>成立． 理由：假设存在点D ，使得S S 114>成立，那么S S y 11414>>，即．∴－21ax 2＋a 1x ＞41，∴（a 1x －21）2＜0 ∵（a 1x －21）2≥ ∴x 不存在，即不存在点D ，使得S S 114>成立．4.(27T)（江苏省宿迁市.本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动． (1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切； (2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式； (3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．第27题5.(25T)(大连市14分)如图25－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ，∠M =∠B ，M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ． ⑴求证：ME = MF ．⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的关系，并加以证明．⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = m BC ，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的关系，并说明理由．⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．图25 - 4图25 - 3图25 - 2图25 -1N6.(26T)(辽宁省十二市)（本题14分）如图16，在平面直角坐标系中，直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax c a =+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．八、（本题14分）26．解：（1）Q 直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ，······································································· 1分16Q 点A C ，都在抛物线上，03a c c ⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩3a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为233y x x =-- ··········································· 3分 ∴顶点13F ⎛- ⎝⎭，··········································································· 4分 （2）存在 ······················································································ 5分1(0P ······················································································ 7分2(2P ······················································································ 9分 （3）存在 ···················································································· 10分 理由： 解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．································································ 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B Q点在抛物线233y x x =-上，(30)B ∴， 在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=o，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--， ······································ 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+33k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨-=+⎪⎩解得6k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=-············································································ 13分xy y x ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴- ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛- ⎝⎭，．14分解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求．················ 11分 过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠=o ，BCO FHG ∠=∠HFG CBO ∴∠=∠ 同方法一可求得(30)B ，．在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=o，可求得GH GC ==，GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC的对称点．0H ⎛∴- ⎝⎭， ································· 12分 设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=·········································································· 13分y y ⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴ 在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，．x1014分7.(28T)(南通市 28题14分)已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k y x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x=于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式． （3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．28．解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y =－2．∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）．从而8216k =⨯=．……………………………………………………………………3分（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，B （－2m ，－2n ），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． ……………4分 S矩形DCNO22mn k==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN=1122mn k =， ………………7分∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO－S △DBO－S △OEN =k ．∴4k =． …………………………8分（第28题）由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1），∴C （－4，－2），M（2，2）．………………………………………………………9分设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是2233y x =+．………………………………………………11分 （3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1． 设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ．于是111A M MA a mp MP M O m-===． 同理MB m aq MQ m+==，……………………………13分 ∴2a m m ap q m m-+-=-=-．……………………14分8.(29T)（庆阳市.2分）一条抛物线2y x mx n =++经过点()03，与()43，． （1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；（2）现有一半径为1、圆心P 在抛物线上运动的动圆，当P e 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标；（第28题）（3）P e 能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线2y x mx n =++使P e29． 本小题满分12分（1）∵ 抛物线过()()04，3，，3两点，∴ 23443n m n =⎧⎨++=⎩，．····························································· 1分解得43m n =-⎧⎨=⎩，． ·································································· 2分∴ 抛物线的解析式是243y x x =-+，顶点坐标为()21-，． ············· 3分 （2）设点P 的坐标为00()x y ，，当P e 与y 轴相切时，有0||1x =，∴01x =±． ···························· 5分由01x =，得201430y =-+=； 由01x =-，得20(1)4(1)38y =---+=．此时，点P 的坐标为()()121018P P -，，，． ··························· 6分 当P e 与x 轴相切时，有0||1y =，∴ 01y =±． ······················ 7分由01y =，得20431x x -+=，解得02x =； 由01y =-，得20431x x -+=-，解得02x =． 此时，点P 的坐标为34(2(2P P ，，5(21)P ，-． ·········· 9分 综上所述，圆心P 的坐标为：()()121018P P -，，，，34(2(2P P ，，5(21)P ，-．注：不写最后一步不扣分．（3） 由（2）知，不能． ··············································· 10分 设抛物线243y x x =-+上下平移后的解析式为2(2)1y x h =--+, 若P e 能与两坐标轴都相切，则0||x =0||1y =,即x 0=y 0=1；或x 0=y 0=-1；或x 0=1，y 0=-1；或x 0=-1，y 0=1． ····· 11分 取x 0=y 0=1，代入2(2)1y x h =--+，得h=1．图15∴ 只需将243y x x =-+向上平移1个单位，就可使P e 与两坐标轴都相切． ··················································································· 12分 说明：对于以上各解答题学生试卷中出现的不同解法，请参考本标准给分． 9.(25T)（上海市.题满分14分，第（1）题满分3分，第（2）题满分7分，第（3）题满分4分）正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点（不与点D 重合），直线AE 交直线BC于点G ，∠BAE 的平分线交射线BC 于点O ．（1）如图8，当CE ＝32时，求线段BG 的长； （2）当点O 在线段BC 上时，设x EDCE=，BO ＝y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）当CE ＝2ED 时，求线段BO 的长．25．解：（1）在边长为2的正方形ABCD 中，32=CE ，得34=DE ， 又∵//AD BC ，即//AD CG ，∴12CG CE AD DE ==，得1CG =－－（2分） ∵2BC =，∴3BG =－－（1分） （2）当点O 在线段BC 上时，过点O 作AG OF⊥，垂足为点F ， ∵AO 为BAE ∠的角平分线，ο90=∠ABO ，∴y BO OF ==－－（１分）在正方形ABCD 中，BC AD //，∴CG CEx AD ED==． ∵2=AD ，∴x CG 2=－－（１分）又∵CEx ED =，2CE ED +=，得xx CE +=12－－（１分）∵在Rt △ABG 中，2AB =，22BG x =+，90B ∠=o，∴AG = ∵2AF AB ==，∴2FG AG AF =-=-－－（１分）∵OF AB FG BG =，即ABy FG BG =⋅，得122222+-++=x x x y ，)0(≥x ；（2分）(1分) （3）当ED CE2=时，①当点O 在线段BC 上时，即2=x，由（2）得32102-==y OB ；－－（1分）A D BGEC图8O 备用图A BCD②当点O 在线段BC 延长线上时，4CE =，2==DC ED ，在 Rt △ADE 中，22=AE ． 设AO 交线段DC 于点H ，∵AO 是BAE ∠的平分线，即HAE BAH ∠=∠，又∵CD AB //，∴AHE BAH ∠=∠．∴AHE HAE ∠=∠．∴22==AE EH ．∴224-=CH －－（1分）∵CD AB //，∴BO CO AB CH =，即BO BO 22224-=-，得222+=BO ． （2分） 10.(25T)（烟台市.题满分14分）如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.11.(14T)(荷泽市.题满分12分)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？24．(本题满分12分)解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠AN M ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ．A B M N D图 2 OA B M N P 图 1 O A B M N 图 3 O∴ AM AN AB AC =，即43x AN =． ∴ AN ＝43x ． ……………2分∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ………………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ． ∴ AM MN AB BC =，即45x MN =． ∴ 54MN x =，∴ 58OD x =． …………………5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt△BM Q 与Rt△BCA 中，∠B 是公共角，∴ △BMQ ∽△BCA ．∴ BM QM BCAC =． ∴ 55258324x BM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=．∴ x ＝4996．∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ．∴ △AMO ∽ △ABP ．∴12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==． ∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 …………………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形，∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形．∴ F N ＝BM ＝4－x ．∴()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．∴2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………………… 9分MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………10分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． ……………………………12分。