2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单几何性质已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225＋y216＝1，C2：y225＋x216＝1.思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？梳理标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质焦点焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围对称性关于________________对称顶点轴长轴长________，短轴长________思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca，叫做椭圆的____________．(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆．类型一椭圆的几何性质例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．引申探究已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质例2 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a2求解．跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________．命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．(2)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________.类型三利用几何性质求椭圆的标准方程例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程．(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．跟踪训练4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )A.13B.33C.22D.122．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－6，0)，(6，0) D．(0，－6)，(0，6)3．设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．4．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________．5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．答案精析问题导学 知识点一思考1 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0，得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x 轴的交点为(4,0)与(－4,0)．思考2 有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形．思考3 C 1：－5≤x ≤5，－4≤y ≤4；C 2：－4≤x ≤4，－5≤y ≤5.梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) |x |≤a ，|y |≤b |x |≤b ，|y |≤a x 轴、y 轴和原点 (±a,0)，(0，±b ) (0，±a )，(±b,0) 2a 2b 知识点二思考 如图所示，在Rt△BOF 2中，cos∠BF 2O ＝c a ，记e ＝c a，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0 题型探究例1 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)． 引申探究解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3， 短半轴长b ＝2.又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝c a ＝53. 跟踪训练1 解 椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,23， 焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)． (2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．例23－1解析 方法一 如图， ∵△DF 1F 2为正三角形，N 为DF 2的中点，∴F 1N ⊥F 2N ， ∵|NF 2|＝c ， ∴|NF 1|＝ |F 1F 2|2－|NF 2|2＝4c 2－c 2＝3c ，则由椭圆的定义可知|NF 1|＋|NF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝ca＝23＋1＝3－1.方法二 注意到焦点三角形NF 1F 2中 ，∠NF 1F 2＝30°， ∠NF 2F 1＝60°，∠F 1NF 2＝90°， 则由离心率的三角形式，可得 e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||NF1|＋|NF 2| ＝sin ∠F 1NF 2sin ∠NF 1F 2＋sin ∠NF 2F 1＝sin 90°sin 30°＋sin 60°＝112＋32＝3－1. 跟踪训练233解析 如图所示，∵∠BAF 2＝60°， |AB |＝|AF 2|，∴△ABF 2是等边三角形， ∴△ABF 2的周长＝3|AF 2| ＝4a ，∴|AF 2|＝4a 3，∴|AF 1|＝2a3.在△AF 1F 2中，由余弦定理得(2c )2＝(2a 3)2＋(4a 3)2－2×2a 3×4a 3×cos 60°，化为a 2＝3c 2，解得e ＝ca ＝33.例3 (1)33解析 直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a)．∴kBF 1＝－b 2a －0c －－c ＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3×－323＝－2±423， ∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)[22，1) 解析 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点， 则c ≥b ，即c 2≥b 2，所以c 2≥a 2－c 2， 所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1)． 跟踪训练35－12例4 解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程， 又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点． ①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3.∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1. 综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性，知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形， ∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c . |FA |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎨⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.跟踪训练4 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，实用文档 解得⎩⎨⎧ a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1. 同理可求出当焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 213＋y 252＝1. 故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6， ∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1. 当堂训练1．B 2.D 3.[－5,5] 4.x 225＋y 216＝1 5.(0，±69)。