2.1.2《椭圆的简单几何性质》
第一课时
科目：高二数学
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完成时间：2022年4月25日
课型：新授课
教学工具：多媒体设备
◆知识与技能目标
通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称
性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.
◆过程与方法目标
能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，
研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负
实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点
P的思考问题，探究椭的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39
圆的扁平程度量椭圆的离心率．
◆情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探
究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界
观，激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的
准备.必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的
范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两
个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信
息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题
和解决问题的能力．
（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为
几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生
的辩证思维能力．
（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决
问题的一般的思想、方法和途径．
教学过程设计
教学
步骤
教师活动学生活动设计意图
（一）导入
一、情景导入：
1.国家大剧院的半椭圆正视图；
1. 2.椭圆的标准方程.
在解析几何
里，是利用
曲线的方程
来研究曲线
的几何性质
的，我们现
在利用焦点
在x轴上的
椭圆的标准
方程来研究
其几何性质.
通过提出问
题、分析问
题、解决问题
激发学生的
学习兴趣,在
掌握新知识
的同时培养
能力.
（二）椭圆的大小思考1：如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸
板制作成一个最大的椭圆呢？
1.范围
由椭圆的标准方程可知，椭
圆上点的坐标(x,y)都适合不等式
2
2
a
x
≤1,
2
2
b
y
≤1
即x2≤a2,
y2≤b2
所以|x|≤a，|y|≤b
即－a≤x≤a, －b≤y≤b
这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
2.对称性
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；
点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；
点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；
（1）在曲线的方程里，如果以－y代y
方程不变，那么当点P(x,y)在曲
线上时，它关于x的轴对称点
P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线
关于x轴对称。
（2）如果以－x代x方程方程不变，
通过提出问
题、分析问
题、解决问
题激发学生
的学习兴趣,
在掌握新知
识的同时培
养能力.
复习关于x
轴，y轴，原
点对称的点
的坐标之间
的关系
研究椭圆
在直角坐标
系中的范围，
就是研究椭
圆在哪个区
域里，只要讨
论方程中x，
y的范围就知
道了.
归纳提问：从
上面三种情
况看出，椭圆
具有怎样的
对称性.
那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。
]
（3）如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称。
]
椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。
这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]
椭圆的对称中心是什么？[原点]
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
3.顶点
在椭圆的标准方程里，
令x=0,得y=±b。
这说明了B1(0,
－b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
令y=0,得x=±a。
这说明了A1(－
a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)
在R t△OB2F2中，由勾股定理有
|OF2|2=|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2
这就是在前面一节里，我们令a2－c2＝b2的几何意义。
发现在椭
圆的标准方
程中①以－
y代y②以－
x代x③同时
以－x代x、
以－y代y.
求曲线与x
轴、y轴的交
点.
观察
图形，由椭
圆的对称性
可知，椭圆
短轴的端点
到两个焦点
的距离相
等，且等于
长半轴长.
归纳出：从上
面三种情况
看出，椭圆具
有怎样的对
称性.
研究曲线的
上的某些特
殊点的位置，
可以确定曲
线的位置。
要
确定曲线在
坐标系中的
位置，常常需
要求出曲线
与x轴，y轴
的交点坐标.
（三）椭圆的形状思考2:对于椭圆
36
9:2
2
1
=
+y
x
C
与椭圆
1
12
16
:
2
2
2
=
+
y
x
C
更接近圆的是？
4.离心率
定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝
a
c
，叫做椭圆的离心率。
因为a>c>0,所以0<e<1.
得出结论：(1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭
圆越扁；
(2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，
这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的
中心，图形变成圆。
当e＝1时，图形变成了一条线段。
观察图形,说
明当离心率
e变化时,椭
圆形状是怎
样随之变化
的.
为什么？留
给学生课后
思考.
调用几何画
板，演示离心
率变化(分越
接近1和越
接近0两种
情况讨论)对
椭圆形状的
影响]
三、例题
例1求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a ，短轴长2b ，该方程中的a ＝？b ＝？c ＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]
解：把已知方程化为标准方程14
522
22=+y x , 这里a ＝5，b ＝4，所以c ＝1625-＝3
因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a ＝10，2b ＝8
离心率e ＝a c ＝5
3
两个焦点分别是F 1(－3,0),F 2(3,0)，
四个顶点分别是A 1(－5,0) A 1(5,0) A 1(0,－4) F 1(0,4). 根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：
(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。
例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2);
(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
例3：椭圆的一个顶点为A(2.0) ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
焦点在x 轴、y 轴上的椭圆的几何性质对比.
五、布置作业
课本习题2.1 (A)组第4、5题。