些基本范畴并时，称是 R 可定义集；否则称 X 是 R 不可定义集。R 可定义集是论域的子集，它可在知识 库中精确地定义，而 R 不可定义集不能在这个知识 库中被定义。R可定义集也称为精确集(Exact Sets), 而 R 不可定义集也称为粗糙集（Rough Sets)。
对于粗糙集可以近似地定义，我们使用粗糙集的
R(X ) x U [x]R X , R(X ) x U [x]R X
BN R ( X ) R( X ) R( X ), POS R ( X ) R( X ), NEGR ( X ) U R( X )
， 分别称为 X 的 R 边界域 、正域 和负域。 从上述定义，可得到 R 下近似和 R 上近似的性质：
▪ 掌握基于优势关系和扩展优势关系的属性约简及 获取决策规则的方法。
本讲内容
▪ 粗糙集理论的基本概念 ▪ 完备决策系统的粗糙决策分析方法 ▪ 不完备决策系统的粗糙决策分析方法 ▪ 基于优势关系的粗糙决策分析方法 ▪ 基于扩展优势关系的粗糙决策分析方法
8.1粗糙集理论的基本概念
8.1.1知识与知识表示
1.知识的含义
粗糙集方法是将数据转化为知识的一种规范的方法, 把知识视为分类的能力。 定义8.1.1 设 U 是研究对象的有限集合，X U 称为 U
中的一个概念或范畴,U 中的一个概念族 F X1, X 2 ,, X n
称为关于 U 的知识，其中 X i U , X i , X i X j , i j i, j 1,2,, n, X i U , 空集也认为是一个概念。
上近似和下近似来描述。 定义8.1.3 给定知识库 K, 对于每个子集 X U 和一个 等价关系 R, 定义两个子集：
R(X ) Y U / R Y X R(X ) Y U / R Y X
分别称它们为 X 的 R下近似和 R 上近似。 下近似和上近似也可以用下面的等式表达：
定义8.1.2 设 R是U 的一个等价关系，U R X1, X 2 ,, X n
表示 R的所有等价类 ，我们用[x]R 表示包含元素 x 的 R
的等价类。
U 上的一族划分称为 U 的一个知识库。一个知
识
K (U , R), U
库就R是一个U 系统，记为
其中 为非空有限
集， 为 上的一簇等价关系。
▪ 8.1.4 属性的重要性、属性约简和核 ▪ 1. 属性的重要性 定义8.1.5 设有决策系统 S (U,C D,V, f ),其中 C, D 分别为条件属性集和决策属性集，则决策属性 D 在 条件属性 C 下的正域（简称 D 的 C 正域）定义为
POSC (D) C(X ) XU / D
X粗糙集的概念可以用下面的示意图来表示：
▪ 8.1.3近似精度与粗糙度
定义8.1.4 设集合 X 是论域 U 上一个关于 R的粗糙 集，定义 X 的 R 近似精度和粗糙度分别为：
R(X )
R(X)
,
R(X )
R(X) 1R(X)
近似精度反映根据现有知识对 X 的理解程度。显 然 0 R (X ) 1, 当 R (X ) 1 时，集合 X 相对 R于是精 确的，当 R (X ) 1时，集合 X 相对于 R 是粗糙的。
U / c3 x1, x2 , x3 , x4 , x8, x5, x6 , x7
U / C x1, x4, x2, x8, x3, x5, x6, x7 U / d x1, x4, x5, x2, x8, x3, x7, x6
R
▪ 8.1.2近似与粗糙集 设 X U, R为U 上的等价关系，当X 能表示为某
▪ 2. 知识的表S 可以表达为: S (U, A,V , f ), 其中U x1, x2 ,, xn 为对象的集合；A为属性的非空有限集合；V 为属性值
域，V Va , Va 是属性 a 的值域； f :U A V 为信息 aA
函数，它为每个对象的每个属性赋予一个属性值
当信息系统中属性 A C D, 其中 C 为条件属性集， D为决策属性集时，信息系统也称为决策系统。
例8-1-1 设决策系统如下表所示，对象为8部小汽车，条件
属性：c1 空间、c2 颜色、c3 价格；决策属性为销售量 d
在此决策系统中每个属性相当于一个等价关系，
有等价关系得到的等价类为：
U / c1 x1, x4 , x5, x6, x3, x7, x2 , x8 U / c2 x1, x4 , x7, x2 , x5, x8, x3, x6
教育部高等学校管理科学与工程类学科专业教学指导委员会 推荐教材
决策理论与方法
（ Decision Making Theory and Methods ）
《决策理论与方法》编写组
第八章 粗糙集决策方法
学习目的
▪ 了解知识、等价类、上近似、下近似、粗糙集、 属性约简和核的概念；
▪ 掌握完备决策系统和不完备决策系统的属性约简 及获取决策规则的方法；
D 的 C 正域是中通过用分类 U / C 表达的知识能够确 定地划入 U / D 类的对象集合。
定义 8.1.6 决策属性 D对条件属性 C 的依赖度定义为
(1) R(X ) X R(X ) (2) R() R(), R(U ) X R(U ) (3) R(X Y ) R(X ) R(Y ), R(X Y ) R(X ) R(Y )
(3) R(X Y ) R(X ) R(Y ), R(X Y ) R(X ) R(Y ) (4) R(X Y ) R(X ) R(Y ), R(X Y ) R(X ) R(Y ) (5) X Y R(X ) R(Y ), R(X ) R(Y ) (6) R( X ) R(X ), R( X ) R( X ) (7) R(R( X )) R(R( X )) R( X ), R(R(X )) R(R(X )) R(X )