则称事件A，B，C相互独立。
事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两 注 独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式 意
子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反
之不一定。
例
设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每 一个四面体标有号码1，2，3，4。令 A={第一个四面体的触地面为偶数} B={第二个四面体的触地面为奇数} C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同
1.5 事件的独立性
一、事件的独立性引例 P(B A) P(B)
例 一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回 地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二 次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概 率。
解 A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}
则 P(B A) 6 0.6 10
P(B) C33 0.23 C32 0.22 0.8 0.104
1
2
3
4
5
解 设Ai表示事件“第i个继电器闭合”，B表示事件 “自左至右是通路”，则
B A1A2 A4 A5 A1A3 A5 A2 A3 A4 P(B) P( A1A2 ) P( A4 A5 ) P( A1A3 A5 ) P( A2 A3 A4 )
P( A1A2 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A5 ) P( A1A2 A3 A4 )
1 P(A1)P(A2 )P(A3 )
＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783
例1.26 现有10张彩票，其中有5张“发”，3张 “财”，其余都是“白”．规定一个人只有同时摸到 “发”和“财”才算中奖。
（1）甲、乙两人依次不放回地连续抽取两张，求甲、 乙两人都中奖的概率；
P(A) P(B) 1
例 甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概 率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击 中目标的概率；3）目标被击中的概率。
解 设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”
则 P(A) 0.6, P(B) 0.5
P(AB) P(A)P(B) 0.60.5 0.3
事件的独立性 判别
定理1.4
设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，且P(A)>0.则
A与B相互独立 P(B A) P(B).
证 A与B相互独立 P( AB) P( A)P(B)
P(B) P( AB) P( A)P(B A) P(B A)
P( A)
P( A)
例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理1.5 下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A U B) 1 P( A U B)
（2）甲、乙两人依次有放回地连续抽取两张，求甲 乙两人至少有一人中奖的概率。
解 设A表示事件“甲中奖”，B表示事件“乙中奖”。
（1）由于是不放回地抽样，故有
P(AB) P(A)P(B A)
C51C31 C41C21
C120
C82
2 0.095 21
（2）由于是有放回地抽样，故A与B是相互独立的，
所求概率为
P( A) C53 0.73 0.32 0.3087
例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概 率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使 用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。
解 设A表示“元件使用1000小时不坏”，则
P(A) 0.2
设B表示“三个元件中至多一个损坏”，则
四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有
A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 ,
A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4
C
2 4
6
因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4 相互独立，所以
P( A1A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 )
设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示第一、第二、第三道工 序出现次Ｐ品（Ａ，1则）＝依2题%意, ：ＰＡ（Ａ1 2,）Ａ＝21,%Ａ,3 Ｐ相（互Ａ独3）立＝，5%且 又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则
A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3 方法２ （用对立事件的概率关系）
P(A) 1 P(A) 1 P(A1 A2 A3 )
解 情形（1）的样本空间为
Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}
P(A) 1 , P(B) 3 , P(AB) 1
2
4
2
此种情形下，事件A、B是不独立的。
例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。
P( AB AB) P( A)P(B) P( A)P(B) 0.5
P(AU B) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.8
有限多个事件的独立性
定义1.9 如果事件A，B，C满足
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
P4(k) C4k pk q4k (0 k 4)
(2) 设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则
P(B) P4 (2) P4 (3) P4 (4) 0.8918
例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好 命中3次的概率。
解 该试验为5重贝努利试验，且 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3
设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A,且
P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试 验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努 利试验(Bernoulli trials).
例 一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个， 检验后放回，再取一个， 连取 4 次．求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率．
P( A)
C51C31 C120
1 , P(B) 3
1, 3
P( AB) P( A)P(B) 1 1 1 , 33 9
所以 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
111 5. 339 9
例1.27 图中有5个继电器接点，假使每一继电器接 点闭合的概率为p，且个继电器接点闭合与否相互独 立，求自左至右是通路的概率。
时为偶数}
试讨论A、B、C的相互独立性。
A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数}
解 试验的样本空间为
(1,1) (1, 2) (1,3) (1, 4) (2,1) (2, 2) (2,3) (2, 4)
(3,1) (3, 2) (3,3) (3, 4) (4,1) (4, 2) (4,3) (4, 4)
Cn2
P( Ai Aj Ak ) P( Ai )P( Aj )P( Ak ) LLLLLLLLL
Cn3
P( A1A2 L An ) P( A1)P( A2 )L P( An ) Cnn
那么称A1, A2 ,L , An是相互独立的。
立的多个事件，有
(1) 若 A1, A2,L , An 相互独立，则
Pn
(k)
C
k n
pk
q
nk
其中 q 1 p
( k＝ 0，1，2，...，n )
例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,
(1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)； (2) 求至少有两粒出苗的概率．
解 (1) 该试验为4 重贝努利试验
n 4, p 0.67, q 1 p 0.33
n
P( A1A2 L An ) P( A1)P( A2 )L P( An ) P( Ai ) i 1
(2) 若 A1, A2,L , An 相互独立，则
n
n
P(U Ai ) 1 P( Ai )
i 1
i 1
例 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序 的次品率分别为2%，1%，5% ，假设各道工序是互不 影响的．求加工出来的零件的次品率． 解
1P(A) P(B) P(AB)
1 P(A) P(B) P(A)P(B)
1 P(A)1 P(B) P(A)P(B)
所以，A与B 独立。
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB AU B
P(B) P( A1A2 ) P( A4 A5 ) P( A1A3 A5 ) P( A2 A3 A4 ) P( A1A2 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A5 ) P( A1A2 A3 A4 )
P( A1A3 A4 A5 ) P( A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 )